Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до данной прямой.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

 

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или , где

 

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

 

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ? С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

 

17. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Геометрические свойства и построение эллипса. Специальные термины.

Э́ллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть | F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a, причем | F ₁ F ₂ | < 2 a.

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Построение: 1)С помощью циркуля

2) Два фокуса и натянутая нитка

3) Эллипсограф (Эллипсограф состоит из двух ползунов, которые могут двигаться по двум перпендикулярным канавкам или направляющим. Ползуны прикреплены к стержню посредством шарниров, и находятся на фиксированном расстоянии друг от друга вдоль стержня. Ползуны движутся вперёд и назад — каждый по своей канавке, — и конец стержня описывает эллипс на плоскости. Полуоси эллипса a и b представляют собой расстояния от конца стержня до шарниров на ползунах. Обычно расстояния a и b можно варьировать, и тем самым менять форму и размеры описываемого эллипса)

(Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

точки эллипса находятся в прямоугольнике

, .

2. Точки лежат на

эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

 

§ — большая полуось;

§ — малая полуось;

§ — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами);

§ — фокальный параметр;

уравнение соотношения между осями и фокусом

эксцентриситет

Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

фокальный параметр

каноническое уравнение

18. Гипербола. Канонические уравнения гипербол. Геометрические свойства и построение гиперболы. Специальные термины

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

причем | F ₁ F ₂ | > 2 a > 0.

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

.

.

.

.

.

.

.

.

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,где большая a и малая b полуоси.

Связанные определения

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F ₁ и F ₂.Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D ₁ и D ₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ± a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на ассимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F ₁ и F ₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами.

Свойства

§ Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

§ Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

§ Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

19. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Геометрические свойства и построение параболы. Специальные термины.

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемойдиректрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси).

Свойства

§ 1Парабола — кривая второго порядка.

§ 2Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

§ 3Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

§ 4Для параболы фокус находится в точке (0,25; 0).

Для параболы фокус находится в точке (0; f).

§ 5Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

§ 6Парабола является антиподерой прямой.

§ Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

§ 7При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

директриса параболы

фокальный радиус

 

20. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, частный случай общего уравнения плоскости. Векторное уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
В векторном виде

В координатах

Угол между плоскостями

 

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

Общее уравнение плоскости:

 

Ах + Ву + Сz + D = 0,

где А, B и C не равны нулю одновременно. Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости (т.е. вектора, перпендикулярного плоскости). При А 0, В 0, С 0 и D 0 получаем уравнение плоскости в отрезках на осях:

где a = – D / A, b = – D / B, c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a, b и c.

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку (х ₀ , у ₀, z ₀ ) и перпендикулярной вектору (А, В, C):

 

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) + С (z – z ₀) = 0.

Условие параллельности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

 

AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0.

 

Условие перпендикулярности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

 

АE+ ВF+ СG = 0.

 

Расстояние между двумя точками (х ₁ , у ₁, z ₁ ) и(x ₂, y ₂, z ₂):

 

 

Расстояние от точки (х ₀ , у ₀, z ₀ ) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0:

Угол между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0: