Линейное (векторное) пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства. Евклидово пространство. Неравенство коши-буняковского

Определение линейного пространства

Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать X,Y,Z, в котором установлены правила:

1) любым двум элементам X,Y c V соответствует третий элемент X+y c V называемый суммой элементов X,Y (внутренняя операция);

2) каждому X c V и каждому a c R отвечает определенный элемент aX (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

I.

II.

III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

 

Линейная зависимость и независимость векторов

Система линейно зависима что

Система линейно независима

 

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называется n -мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Обозначения: n = dim V; .

Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂…e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

 

14. Уравнение линий на плоскости(декартовые, параметрические). направляющий вектор прямой на плоскости. параметрические векторные и канонические уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой проходящей через две данные точки.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M₂ (x ₂, y ₂, z ₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

 

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁= 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁= λА, В₁= λВ. Если еще и С₁= λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t — производный параметр, a_x, a_y — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом

Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод

где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.

Нормальный вектор прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.

- уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой.

Уравнение прямой вида y=kx+b

 

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом y=kx+b

 

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

.

Взаимное расположение:

Пусть и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые и совпадают;

2) если , то прямые и параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если , то и прямые пересекаются.

Если же , то , , и уравнение прямой принимает вид:

или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.