С.л.а.у. с прямоугольными матрицами. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема: Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда есть тривиальное — нулевое решение.

Совместность однородной системы легко получить из теоремы Кронекера-Капелли: добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может увеличить ранг матрицы.

Однородной с-мой наз-сясис-ма, свободные члены которой =0. Сис-ма всегда совместна, если определ-ль ≠0.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система имеет единств решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множ-во решений.

Сис-ма однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю:

Однородная система всегда совместна: она имеет тривиальное решение: .

Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрицаАсистемы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что условие является и достаточным для существования нетривиального решения.

Сис-малиноднородур им ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее м-цыкоэф-тов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)<n.

Решения сис-мы линур-ний обладают след св-вами: 1) если строка - решение сис-мы, то и строка -также реш этой сис-мы. 2) если строки и -решсис-мы, то при люб их линейная комбинация – также реш этой комбинации.

Система линейно независимых решений назыв-ся фундаментальной, если кажд решение сис-мы яв-сялин комбинацией решений .

Т-ма:если рангr м-цыкоэф-тов при переменных сис-мы линоднородн уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундамент сис-ма решений сис-мы состоит из n – rрешений. Поэтому общее решсис-мы линоднороднуравн им вид: .

Общее решение сис-мы mлинур с n переменными равно сумме общего решсоответ-щей ей сис-мы однор-ныхлинур и произв-го частного решения этой сис-мы.

Векторы. Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

К линейным операциям над векторами относятся:

1)умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.)

а*(вс) = (ав)*с и а*(в + с) = ав + ас.

2)сложение векторов: (а + в) + с = а + (в + с):

Пр-ло -ка:

 

Пр-лопараллелогр-ма:

 

3)вычитание векторов: а – в = а + (-в):

Проекции вектора на ось.

Ось – прямая, им направление. Числов ось – прямая, с нач отсчета и единичным масштабом.

Проекции сущ 2 вида: геометр-кая и алгебр-кая.

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

 

Свойства проекций:1) пр на l = произв на cos м/у вектором и осью.

Проекция в-ра на ось положит-на (отриц-на), если век-р образует с осью острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой. Проекции равн век-ров равны м/у собой.

2) проекция суммы неск век-ров на одну и ту же ось = сумме их проекций на эту ось.

3) при умножении на число его проекция на ось также умнож-ся на это число:

.