Тема 5. Будова теореми. Види теорем.

В математиці часто доводиться мати справу з

твердженнями, які характеризують властивості певних об’єктів,

чи відношень між ними. Деякі властивості розкривають у

твердженнях, які називаються означеннями і приймаються на

основі домовленостей без доведення. Наприклад,

паралелограми з рівними сторонами домовились називати

ромбами, а для паралелограмів, які не мають рівних суміжних

сторін, не запровадили спеціального терміну, а тому про них

говорять нерівносторонні паралелограми, або не_ромби (хоч

остання назва виражає значно ширший обсяг об’єктів і не є

об’єктивна). Інші властивості об’єктів чи відношень настільки

очевидні, що також не вимагають доведень і формулюються у

вигляді тверджень, які називаються аксіомами.

Однак найчастіше зустрічаються твердження, істинність яких

необхідно довести чи обгрунтувати шляхом логічних міркувань.

Такі твердження називаються теоремами. З точки зору

математичної логіки теорему можна означити так:

Імплікація предикатів, яка перетворюється в істин)

Не висловлення на всій області визначення, нази)

Вається теоремою.

Оскільки така імплікація виражає відношення логічного

слідування предикатів, то це означає, що кожне відношення

логічного слідування предикатів є теоремою. Отже, в

найпростішому випадку теорема записується так:

(∀ х ∈ ×)[A(х) ⇒ B(х) ]

Цей запис дозволяє легко охарактеризувати структуру

(будову) теореми. Очевидно, що теорема складається з трьох

частин:

роз’яснювальної частини: (∀ х ∈ ×),

умови теореми _ предиката А(х), який є умовою імплікації,

і висновка теореми _ предиката В(х), який є висновком

імплікації. В роз’яснювальній частині вказується на множину

об’єктів, властивості яких розкриваються. Однак при

словесному формулюванні теорем роз’яснювальна частина

часто присутня в неявній формі, тобто її не формулюють в

розгорнутому вигляді з квантором (“для всіх х із множини Х”),

а догадуються про які об’єкти йде мова з умови та висновку

теореми.

Теореми формулюються в імплікативній або категоричній

формі, або з допомогою слів “необхідно”, “достатньо”, або

“необхідно й достатньо”, чи “тоді і тільки тоді” тощо.

Символічно записуються теореми тільки в імплікативній

формі. Тому якщо потрібно символічно записати теорему,

сформульовану в категоричній формі, то спочатку її слід

перефразувати, звівши до імплікативної форми. В

імплікативному формулюванні легко виділити умову і висновок:

сукупність слів між словами “якщо” і “то” _ це умова; сукупність

слів після слова “то” _ це висновок теореми.

Запишемо для прикладу символічно теорему: “Якщо число

ділиться на 4, то воно ділиться на 2”.

Як бачимо, роз’яснювальна частина явно не присутня, але із

формулювання теореми легко догадатись, що йде мова про

натуральні числа (а не дробові, чи ірраціональні, де відношення

подільності не має змісту), а отже, областю визначення

предикатів, які утворюють теорему, є множина натуральних

чисел. Оскільки твердження стосується одного довільного

натурального числа, то роз’яснюючу частину можна записати

так: (∀ х ∈ N). Предикати, які утворюють теорему, одномісні, бо

в теоремі йдеться про одне число, довільно вибране з множини

N. Предикат, що є умовою теореми, позначимо А(х): “число х

ділиться на 4”, а предикат, що є висновком теореми _ В(х): “число

х ділиться на 2”. Отже, теорема запишеться так:

(∀ х ∈N)[ A(х) ⇒ B(х) ].

Наведена формула виражає структуру простої теореми, в якій

умова і висновок є одномісними предикатами, з одним

підметом та одним присудком. Але в математиці дуже часто

зустрічаються теореми ускладненої структури, в яких умова або

висновок, чи і умова, і висновок являють собою складені

предикати. Наприклад, теорема: “Якщо число ділиться на 2 і на

3, то воно ділиться на 6” має умову кон’юнктивної структури

(сполучник “і”), оскільки вона складається з двох предикатів А(х)

та В(х), з’єднаних сполучником “і”, де предикат А(х): “число х

ділиться на 2”, предикат В(х): “число х ділиться на 3”. Висновком

цієї теореми є предикат С(х): “число х ділиться на 6”. Зрозуміло,

що ці предикати розглядаються на множині натуральних чисел:

х ∈ N. Отже, структура цієї теореми символічно може бути

записана так:

(∀ х ∈ N) [A(х) ∧ B(х) ⇒ C(х) ].

Види простих теорем

Нехай деяка дана теорема має структуру:

(∀ х ∈ ×) [ A(х) ⇒ B(х) ] (1),

де (∀ х ∈ ×) _ роз’яснювальна частина, предикат А(х) _ умова

теореми, а предикат В(х) _ висновок теореми.

Якщо в даній теоремі (1) поміняти місцями умову і висновок,

залишивши без зміни роз’яснювальну частину, то одержимо

теорему, обернену до даної, яка має вигляд:

(∀ х∈×) [ В(х) ⇒ А(х) ] (2).

Якщо в даній теоремі (1) виконати заперечення умови і

висновку, залишивши без зміни роз’яснювальну частину,то

одержимо теорему, протилежну до даної, яка має вигляд:

(∀ х ∈ ×) [

A (x)

⇒ B (x) ] (3).

Якщо поміняти місцями умову і висновок теореми (3),

протилежної до даної, то одержимо теорему, обернену

до протилежної, яка має вигляд:

(∀ х ∈ ×) [

B (⇒ A (x) ] (4).

Цю теорему можна одержати іншим способом, а саме,

виконавши заперечення умови і висновку теореми,

оберненої до даної. Одержану таким чином теорему

називають теоремою, протилежною до оберненої:

(∀ х ∈ ×) [

⇒ A (x) ].

Зауважимо, що шляхом виконання операції заперечення

умови та висновку, або зміною місць умови і висновку, або

одночасно обома операціями (запереченням умови та

висновку і зміною їх місць) можна утворити чотири різні види

теорем не лише з простої теореми, але і з довільної теореми

ускладненої структури.

Всі чотири види теорем становлять систему, в якій можуть

бути всі теореми істинні, або всі теореми хибні, або дві

теореми істинні, а дві хибні. В останньому випадку дана

теорема і теорема, обернена до протилежної (чи протилежна

до оберненої, що те ж саме), мають однакове значення

логічної вартості. Так само теорема, обернена до даної, і

теорема, протилежна до даної, також мають однакове

значення логічної вартості.

Проілюструємо на прикладі, як утворити різні види теорем з

розглянутої вище простої теореми і визначимо значення логічної

вартості кожної з них. Отже, нехай дано теорему: “Якщо число ділиться

на 4, то воно ділиться на 2”. Символічно вона записується так:

(∀ х∈ N)[A(х) ⇒ B(х) ], де А(х): “число х ділиться на 4”, а В

(х): “число х ділиться на 2”.

Ця теорема істинна, бо ТА(х) ⊂ ТВ(х), тобто предикат В(х)

логічно слідує з предиката А(х). Поміняємо місцями умову і

висновок даної теореми, внаслідок чого утворимо теорему,

обернену до даної: “Якщо число ділиться на 2, то воно ділиться

на 4”. Символічно її запишемо так: (∀ х ∈ N) [ B(х) ⇒ A(х) ].

Ця теорема хибна, бо предикат А(х) логічно не слідує з

предиката В(х), оскільки ТВ(х) ⊄ ТА(х). Взагалі кажучи, хибність

її очевидна, бо, наприклад число 6 ділиться на 2, але не

ділиться на 4.

Виконаємо тепер заперечення умови і висновку даної

теореми, внаслідок чого одержимо теорему, протилежну до

даної: “Якщо число не ділиться на 4, то воно не ділиться на 2”,

яку символічно запишемо так: (

∀

х ∈ N) [

A (⇒ В (x)].

Ця теорема хибна, бо, наприклад, число 10 не ділиться на 4,

але воно ділиться на 2.

Нарешті виконаємо заперечення умови і висновку оберненої

теореми, внаслідок чого утворимо теорему, протилежну до

оберненої: “Якщо число не ділиться на 2, то воно не ділиться на

4”, символічно її записують так:

(∀ х ∈ N)[ B (x)⇒ A (x) ].

Ця теорема істинна.

З наведеного прикладу очевидно, що дана теорема і

теорема, протилежна до оберненої, істинні, а теорема,

протилежна до даної, і теорема, обернена до даної, є хибні.

Взагалі встановлено, що дана теорема

(∀ х ∈ C) [A(х) ⇒ B(х)] (1)

і теорема, обернена до протилежної

(∀ х ∈ C) [

B (x)

⇒ A (x)] (4)

завжди рівносильні, тобто завжди, коли істинна теорема (1),

то й буде істинна теорема (4) і навпаки.

(∀ х ∈ C) [ A(х) ⇒ B(х) ] ⇔ (∀ х ∈ C) [

⇒ A (x)]

Одержану рівносильність називають законом

контрапозиції. Його широко використовують при доведенні

теорем методом від супротивного. Слід відмітити, що якщо

істинна дана теорема (1), то обернена їй теорема може бути як

істинна, так і хибна. Тому в кожному випадку слід проводити

самостійне доведення. Якщо виявляться істинними дана

теорема (1) і теорема, обернена до даної (2), то їх можна

об’єднати в одну з допомогою слів “необхідно і достатньо”, або

“тоді і тільки тоді” і записати символічно так:

(∀ х ∈ Х) [ A(х) ⇔ B(х) ] (5).

З другого боку, якщо теорема має структуру (5), то її

доведення зводиться до доведення взаємно обернених теорем:

(∀ х ∈ Х) [ A(х) ⇒ B(х) ] та (∀ х∈Х) [ В(х) ⇒ А(х) ].

Розглянемо, наприклад, теорему, що виражає ознаку

подільності натурального числа на 3: “Для того, щоб число

ділилось на 3, необхідно й достатньо, щоб сума цифр цього

числа ділилася на 3”. Вважаючи, що областю визначення

кожного з предикатів, які утворюють теорему, є множина

натуральних чисел (х ∈ N), і позначивши предикати через А(х):

“число х ділиться на 3”, В(х): “сума цифр числа х ділиться на 3”,

дану теорему можна записати так: (∀ х ∈ N) [ A(х) ⇔ B(х) ].

Доведення цієї теореми зводиться до доведення двох

взаємно обернених теорем:

1) (∀ х ∈ N)[ A(х) ⇒ B(х) ] _ “Якщо число ділиться на 3, то

сума його цифр ділиться на 3”; і

2)(∀ х ∈ N)[ В(х) ⇒ А(х) ] _ “Якщо сума цифр числа ділиться

на 3, то число ділиться на 3”.

Іншими словами, дана теорема являє собою кон’юнкцію двох

взаємно обернених теорем:

(∀ х ∈ N)[ A(х) ⇔ B(х) ] ≡

≡ (∀ х ∈ N)[ A(х) ⇒B(х) ] ∧ (∀ х ∈ N)[ В(х) ⇒ А(х) ],

або коротше:

(∀ х ∈ N)[ A(х) ⇔ B(х) ] ≡

≡ (∀ х ∈ N)[ (A(х) ⇒ B(х)) ∧ (В(х) ⇒ А(х) ].