Подiл обсягу поняття. Класифiкацiя понять.

Подiл обсягу поняття (лат. devisio) _ це логiчна операцiя,

яка полягає в тому, що предмети, вiдображенi в даному

поняттi, дiляться на види.

Мислена операцiя, в результатi якої розбивається об_

сяг поняття, називається подiлом обсягу поняття. Те по_

няття, обсяг якого дiлять, називається дiленим (totum

dividendum), а тi поняття, якi дiстаємо в результатi подiлу,

називаються членами подiлу (membra divisionis). Поняття,

обсяг якого дiлиться, є родовим, а новi поняття, утворенi в

результатi подiлу, є видовими вiдносно даного роду.

Коли проводимо подiл обсягу родового поняття на

видовi поняття, то шукаємо тi ознаки, якi притаманнi од_

ним видам i якi не зустрiчаються в iнших видах.

Ознака, за якою проводять подiл обсягу родового понят_

тя на види, називається основою подiлу (principium divisionis).

Видове поняття, отримане в результатi подiлу обсягу понят_

тя, в свою чергу можна дiлити на пiдвидовi поняття.

Узагальненням операцiї подiлу обсягу понять є

операцiя класифiкацiя. Класифiкацiя (лат. _ classis _ роз_

ряд, faсio _ роблю) _ це розподiл предметiв певного роду

на класи за суттєвими ознаками, притаманними предме_

там даного роду, причому кожен клас займає в отриманiй

системi певне мiсце i, в свою чергу, дiлиться на пiдкласи.

В символiчнiй формi означення класифiкацiї можна пода_

ти з теоретико_множинних позицiй так: класифiкацiя)

це розбиття множини M на непорожнi пiдмножини (кла_

си) К1, К2,..., Кn, якi попарно не перетинаються, але в

об’єднаннi становлять дану множину. Це означає, що

класифiкацiя є процесом утворення непорожнiх пiдмножин

множини М, якi задовольняють таким вимогам:

1) K1⊂M, K2⊂M,..., Kn⊂M, або коротше, Кi⊂М, де

i=1,2,...,n;

2) Кi≠∅, i=1,2,...,n;

3) Кi∩Кj=∅, де i≠ j; i, j=1,2,...,n;

4) K1∪K2∪...∪Kn=M, або Ki M

i

n

=

=

U.

Наприклад, за ознакою(S) _ “парнiсть натурального

числа” _ множину натуральних чисел (N) можна розбити

на 2 класи _ парних (P) i непарних (P) чисел. Цю

класифiкацiю можна зобразити деревовидною схемою:

На схемi виконуванiсть ознаки S (натуральне число х

дiлиться без остачi на 2, тобто парнiсть числа) позначають

стрiлкою, яка супроводжується знаком “+”, а невиконуванiсть

ознаки _ стрiлкою iз знаком “−“.

Якщо класифiкацiя виконана за однiєю ознакою, то схема,

яка її iлюструє, _ одноярусна. Якщо виконують розбиття за дво_

ма ознаками, то вiдповiдна їй схема _ двоярусна, причому спо_

чатку виконують розбиття за першою ознакою (S1), а потiм ко_

жен, або деякi чи хоча б один з утворених внаслiдок першого

розбиття класiв, розбивають за другою ознакою (S2). Класи,

одержанi пiсля другого розбиття, характеризуються двома оз_

наками одночасно.

Якщо в результатi розбиття отримують два класи, то

класифiкацiю називають дiхотомічною (грец. dicha _ два, tome

_ роздiляю). Якщо ж отримують три i бiльше класiв, то

класифiкацiя недiхотомiчна.

Схема дiхотомiчної класифiкацiї,

виконаної за двома ознаками S1 та S2

має вигляд:

1) A ⊂ M, A ⊂ M, A I A =∅, A U A = M,

A ={ xx ∈ M, S 1(x)},

A ={ xx ∈ M, S 1(x)}.

2) K1 ⊂ A, K2 ⊂ A,

K1 ∩ K2 = ∅, K1 ∪ K2 = A;

S

+ −

Натуральні числа (x∈N)

Парні числа (P) Непарні числа (P)

S 1

+ −

S 2 S 2

+ − + −

M

A A

K 1 K2 K 3 K4

М

В

B

K 3⊂ A, K 4⊂ A;

K 3∩ K 4=∅, K 3∪ K 4= A.

Класи К1, К2, К3, К4 при цьому задаються описом так:

{ } { }

{ } { }

K xx M S x S x K xx M S x S x

K xx M S x S x K xx M S x S x

1 1 2 2 1 2

3 1 2 4 1 2

= ∈ ∧ = ∈ ∧

= ∈ ∧ = ∈ ∧

, () (),, () (),

, () (),, () ().

Класифiкацiю, виконану за двома ознаками, зображають

таблицею з двома входами, в якiй у верхньому горизонтальному

рядi записують класи, утворенi в результатi розбиття множини

М за першою ознакою, а в лiвому вертикальному стовпцi _ класи,

утворенi в результатi розбиття множини М за другою ознакою.

В клiтинах таблицi записують класи, утворенi внаслiдок попарних

перерiзiв класів, виділених за кожною з ознак S1 і S2.

Якщо б таку класифікацію зобразити діаграмами Ейлера_Венна,

то побудову діаграми слід виконувати в такій послідовності:

а) спочатку круг М, який зображає обсяг родового поняття М,

розділяють на дві частини за ознакою S1 так, що

частині А відповідають ті елементи з множини М, які

володіють ознакою S1, а частині A − ті елементи з

множини М, які не володіють ознакою S1. Таким чином

за ознакою S1 утворюють два видові поняття А і A.

б) Потім круг М розділяють по_іншому на дві

частини В і B за ознакою S2, тобто, не зважаючи на

результати попереднього розбиття, розбивають

множину М за ознакою S2 на класи B і B.

в) Нарешті, накладаючи одну діаграму на другу,

отримують 4 частини круга М, тобто чотири класи, які є

попарними перерізами класів, утворених в результаті двох

попередніх класифікацій. Кожен з класів характеризується двома

ознаками S1 і S2 одночасно _ відсутністю чи наявністю кожної з

них. Діаграма має вигляд:

S 1

S2

A A

B K 1=A∩ B K 3= A ∩ B

B K2=A∩ B K4= A ∩ B

М

А A

Класи записують так:

К1=А∩B={x|x∈M, S1(x)∧S2(x)},

K2,K3,K4 − можна записати

аналогічно.

Побудову діаграми класифікації за

двома ознаками можна виконувати в

іншій послідовності, внаслідок чого

діаграма матиме інший вигляд. Для

цього

1) спочатку із обсягу поняття М (круга М) за першою ознакою

(S1) виділяють клас А тих елементів, яким притаманна ознака S1,

і зображають круг А всередині круга М. Очевидно, що доповнення

круга А до круга М зображає обсяг поняття A – клас елементів,

яким ознака S1 не притаманна. A = М\А (Читають: “М без А”.)

2) Не звертаючи уваги на круг А, із обсягу поняття М (круга М)

виділяють за другою ознакою (S2) клас В, яким притаманна

ознака S2. Круг В зображають на тій самій діаграмі так, щоб він

перетинався з кругом А, оскільки існують елементи, які

володіють ознакою S1 і ознакою S2.

Доповнення круга В до круга М ілюструє обсяг поняття B –

клас елементів, яким ознака S2 не притаманна: B = М\В.

3) Аналізують отриману діаграму: кожній

окремій частині круга М ставлять у

відповідність клас елементів, який

характеризується обома ознаками S1 та S2.

Наприклад, частина К2 ілюструє клас тих

елементів з множини М, які володіють

ознакою S1 і не володіють ознакою S2.

Символічно записують так: К2 = {x/x є М, S1(x) ∧ S2(x)}

Аналогічно записують інші класи К1, К3, К4.

Зразки розв’язування вправ з теми: “Поняття як форма

Мислення”.

Завдання 1. Перелічити деякі властивості (ознаки), які ста_

новлять зміст поняття “прямокутник”.

Розв ’ язування. В зміст поняття “прямокутник” входять, по_

перше, ті ознаки, які вказані в його означенні: “Прямокутником

М

K1= K3=

= A∩B = A ∩B

K2= K4=

= A∩ B = A ∩ B

М

А В

К1

К2 К3

К4

М

Т

називається паралелограм, в якого є прямий кут”. Отже, видо_

ва ознака прямокутника, яка виділяє його серед усіх паралелог_

рамів, є “наявність прямого кута в паралелограма”. По_друге,

оскільки родовим поняттям для поняття “прямокутник” є по_

няття “паралелограм”, то всі суттєві ознаки його входять в зміст

поняття “прямокутник”, зокрема, ознака, вказана в означенні

паралелограма, та ознаки, які доводяться як теореми: “пара_

лельність протилежних сторін”, “рівність протилежних сторін”,

“рівність протилежних кутів”, “рівність суми кутів, що приляга_

ють до однієї сторони 1800”, “поділ пополам діагоналей пара_

лелограма точкою їх перетину”, “рівність трикутників, на які діа_

гональ поділяє паралелограм”, “наявність центра симетрії”, “на_

явність чотирьох кутів, сторін, вершин” і ін. Отже, перелічені оз_

наки становлять зміст поняття “прямокутник”.

Завдання 2. Обгрунтувати, що поняття “многокутник” є уза_

гальненням поняття “трикутник”.

Розв ’ язування. Позначимо обсяг поняття “трикутник” буквою

Т, а обсяг поняття “многокутник” буквою М. З’ясуємо, чи обсяг

поняття “трикутник”_ множина Т − є власною підмножиною обсягу

поняття “многокутник” − множини М. За означенням власної

підмножини треба, щоб кожен елемент множини Т був і

елементом множини М. Оскільки висловлення “Кожний

трикутник є многокутником” істинне, то і висловлення “всі

трикутники є многокутниками”_ істинне. Отже, Т⊂М.

З другого боку, оскільки висловлення “Не кожен многокутник

є трикутником” також істинне, то це означає, що обсяг поняття

“многокутник” є ширшим, ніж обсяг поняття “трикутник”, а отже,

поняття “многокутник” є узагальненням поняття “трикутник”.

Співвідношення між обсягами цих понять ілюструється

діаграмою Ейлера_Венна:

З неї очевидно, що

1) кожний трикутник є многокутником, але

не кожний многокутник є трикутником;

2) обсяг поняття “трикутник” вужчий, ніж

обсяг поняття “многокутник”;

3) у зв’язку з цим зміст поняття “трикут_

ник” ширший, ніж зміст поняття “многокутник”;

4) поняття “многокутник” є узагальненням поняття “трикут_

ник” (стрілка йде в напрямі від центра круга назовні).

Завдання 3. Наведіть означення бісектриси кута. Вкажіть

родове поняття і видову ознаку.

Розв ’ язування: Означення: “Бісектрисою кута називається

промінь, який виходить з вершини кута і ділить його пополам.”

В цьому означенні родове поняття _ “промінь”, а видова оз_

нака _ “виходить з вершини кута і ділить його пополам.”

Видова ознака має кон’юнктивну структуру, тобто являє

собою кон’юнкцію двох ознак S1: “виходити з вершини кута” і

S2: “ділити кут пополам”. S1∧S2.

Завдання 4. В якому відношенні перебувають поняття “рівно_

сторонній трикутник” і “правильний трикутник”. Зобразіть відно_

шення між обсягами цих понять діаграмою Ейлера_Венна.

Розв ’ язування _______. Ці поняття тотожні або еквівалентні, бо в зміст

кожного поняття входять одні й ті самі ознаки: “наявність трьох

рівних сторін”, “наявність трьох рівних кутів” і т.д. Обсяги цих

понять співпадають. Отже, діаграма Ейлера_Венна має вигляд:

де Р _ обсяг поняття “рівносторонній трикутник”,

а S _ обсяг поняття “правильний трикутник”.

Завдання для самостійної роботи:

1. Зобразіть відношення між обсягами вказаних понять за

допомогою діаграм Ейлера_Венна:

а) натуральне число; ціле число; від’ємне число;

б) квадрат; ромб з прямим кутом;

в) трапеція; прямокутна трапеція; рівнобедрена трапеція;

нерівнобедрена непрямокутна трапеція.

2. Назвіть родове поняття для кожної групи понять:

а) квадрат, ромб, трапеція;

б) коло, круг, відрізок, многокутник;

в) пряма, крива, ламана;

г) дерева, кущі, трави.

3. Назвіть три поняття, кожне з яких є родовим поняттям до

поняття “прямокутник”. Яке з них є найближчим родом?

4. З’ясуйте, в якому з наведених нижче випадків істинне вис_

ловлення: “поняття В є узагальнення поняття А”

а) А _ “відрізок”; В _ “пряма”;

б) А _ “промінь”; В _ “пряма”;

P S

в) А _ “птах”; В _ “тварина”;

г) А _ “коло”; В _ “круг”;

д) А _ “многокутник”; В _ “прямокутник”;

е) А _ “прямокутник”; В _ “паралелограм”.

5. Чи тотожні поняття:

а) число і цифра;

б) коло і круг;

в) пряма і відрізок;

г) вираз і значення виразу;

д) коло і межа круга?

6. Наведіть означення понять:

а) чотирикутник; б) ромб; в) прямокутник; г) квадрат; д)

рівнобедрений трикутник; е) рівносторонній трикутник; є) тра_

пеція; ж) неперервна функція; з) диференціал; и) первісна; і)

еластичність функції.

Вкажіть спосіб означення кожного з понять.

Виділіть в тих означеннях, де це можливо, родове поняття і

видову ознаку.

7. Дайте означення квадрата і назвіть кілька властивостей, які вхо_

дять в зміст його і випливають з означення та з родового поняття.

8. Перелічіть ознаки, спільні для поняття “прямокутник” та

поняття “квадрат”.

9. В якому відношенні перебувають обсяги понять “прямокут_

ник” і “квадрат”? В якому відошенні перебуває зміст цих понять?

10. Які з понять є сумісними, а які несумісними: А _ парне

число, В _ непарне число, С _ число, кратне трьом, Д _ одноциф_

рове число, Е _ двоцифрове число?

11. Наведіть приклади понять таких, що одне поняття є ро_

довим по відношенню до другого і видовим по відношенню до

третього.

12. За властивістю “мати прямий кут” виділіть підмножину із

множини всіх трикутників.

13. Зобразіть діаграмою Ейлера_Венна відношення між об_

сягами понять: А _ рівнобедрений трикутник;

В _ прямокутний трикутник; С _ тупокутний трикутник.

14. Виконайте класифікації понять за певними ознаками: а)

класифікацію трикутників за кутами; б) класифікацію трикутників

за сторонами; в) класифікацію паралелограмів за рівністю

сторін та наявністю прямих кутів; г) класифікацію чисел за по_

дільністю їх на 3; 5; 7; 10.