Тема 2. Висловлення і дії над ними.

ЗАКОНИ АЛГЕБРИ ВИСЛОВЛЕНЬ

План: 1. Поняття висловлення і висловлювальної форми.

2. Дії над висловленнями:

а) заперечення висловлення;

б) диз’юнкція двох висловлень;

в) кон’юнкція двох висловлень;

г) імплікація двох висловлень;

д) еквіваленція двох висловлень.

3. Закони алгебри висловлень.

Поняття висловлення (судження) і висловлювальної

Форми.

Основним, тобто неозначуваним, поняттям в математичній

логіці є поняття висловлення. Але зміст цього поняття можна

розкрити описом так: висловлення _ це речення, в якому щось

стверджується чи заперечується і про яке можна сказати істин_

не воно чи хибне. (В логіці для позначення висловлень викори_

стовуються ще терміни_судження, твердження. Надалі ми вико_

ристовуватимемо термін “висловлення”). Висловлення прий_

нято позначати великими буквами латинського алфавіту, хоч,

взагалі кажучи, це справа домовленості. Приклади висловлень:

А: “Число 5 _ натуральне”.

В: “Місто Київ стоїть на березі Дніпра”.

С: “3 _ парне число”.

Висловлення А і В _ істинні, висловлення С _ хибне.

Істинне висловлення (за домовленістю) позначають цифрою

1 або буквою І, хибне _ цифрою 0, або буквою Х. (І,Х _ початкові

букви слів відповідно “істинне”, “хибне”). Істинність та хибність

судження називають значенням логічної вартості. Домо_

вимось використовувати цифрову символіку (1;0) для позна_

чення (значення) логічної вартості висловлення. Не слід вважа_

ти висловленнями речення, що мають суб’єктивний характер,

наприклад: “Сьогодні гарна погода”, або “Ця книжка цікава”. Не

вважаються висловленнями питальні та окличні речення, а та_

кож речення, які не мають смислу, наприклад: “3/4 кратне 5”.

Якщо висловлення містить один підмет і один присудок (в син_

таксичному розумінні) чи характеризує одну якість чи одне відно_

шення предмета, то його вважають простим висловленням.

Наприклад:

А: “Арістотель _ творець логіки”;

В: “12 кратне 3”;

С: “5 < 7”;

Д: “2 + 5 = 7” _ це прості висловлення.

В загальному вигляді просте висловлення має структуру: “S

є Р”, де S – суб’єкт, Р – предикат висловлення, які з’єднані ствер_

джувальною зв’язкою “є”, або заперечу вальною зв’язкою “не

є”. В останньому випадку просте висловлення має структуру: “S

не є Р”. Замість зв’язки “є” в українській мові використовують

тире: “5 – непарне число”.

Якщо висловлення містить два підмети і два присудки (в гра_

матичному розумінні), чи один підмет і кілька присудків або на_

впаки, то його вважають складеним висловленням.

Серед складених висловлень (суджень) виділяють а) висловлен_

ня із складним суб’єктом, які мають структуру S (S1, S2, …, Sn) є Р, а

також б) висловлення із складним предикатом, які мають структу_

ру SєP(P1, P2, …, Pn) та в) висловлення, утворені із простих вислов_

лень в результаті логічних операцій за допомогою пропозиціональ_

них зв’язок або функторів, які називаються логічними оператора_

ми, а саме: “не”, “або”, “або, або”, “і”, “якщо, то”, “тоді і тільки тоді”.

Приклади складених висловлень:

1) А: “Числа 20 і 30 – круглі”. Це висловлення із складним

суб’єктом та функтором “і”.

2) В: “Число 15 – непарне і кратне 3”. Це висловлення із склад_

ним предикатом та функтором “і”.

3) С: “Якщо число кратне 4, то воно парне”. Це судження скла_

дене, утворене за допомогою функтора “якщо…, то”.

В математичній логіці часто доводиться мати справу з ре_

ченнями, які вміщують змінні, і для яких не можна визначити їх

логічну вартість _ істинні вони чи хибні, бо при підстановці

замість змінних певних значень вони перетворюються то в

істинні, то в хибні висловлення. Такі речення називаються ви)

словлювальними формами або предикатами. Для вислов_

лювальних форм обов’язково ще вказується, з якої множини

вибираються значення змінної. Множину значень змінної, на

якій розглядається предикат, називають областю визна)

чення предиката. Залежно від кількості змінних, що містяться

в реченні, предикат називають відповідно одномісним, двоміс_

ним, тримісним і т.д. Висловлювальні форми (предикати) та_

кож позначають великими буквами латинського алфавіту, а

змінні, що входять до них, малими буквами цього ж алфавіту.

Наприклад:

1) А(х): “натуральне число х < 5”, _ це одномісний предикат,

областю визначення якого є множина натуральних чисел. Оче_

видно, що при значенні змінної х, що дорівнює 1, 2, 3, 4, цей

предикат перетворюється в істинне висловлення, а при всіх

інших значеннях х з множини натуральних чисел _ в хибне. Мно_

жина Т = {1, 2, 3, 4} _ є областю істинності предиката А(х). Дамо

означення області істинності предиката.

Областю істинності предиката називається множи)

На тих значень змінної з області визначення, при яких

даний предикат перетворюється в істинне вислов)

Лення.

2) B(x,y): “Числа х,у _ прості”. _ Це двомісний предикат, облас_

тю визначення якого є множина всіх можливих пар натуральних

чисел, бо поняття простого числа зв’язане з натуральними числа_

ми. Областю істинності його є множина пар (х,у) простих чисел.

Область істинності перебуває у відношенні включен)

Ня з областю визначення предиката.

Наприклад, для предиката А(х): “натуральне число х _ парне”,

областю визначення (Х) є множина (N) натуральних чисел, а

областю істинності (Т) є множина парних чисел (Р), відношення

між якими можна зобразити діаграмою Ейлера_Венна так:

Узагальнимо означення висловлювальної форми або преди_

ката. (Надалі для короткості будемо вживати термін предикат).

Предикатом, заданим на області визначення Х, на)

Зивається речення із змінними, яке при підстановці

Значень змінних із області визначення перетворюєть)

Ся у висловлення) істинне або хибне.

Прикладами предикатів, які широко використовуються в

математиці, є рівняння і нерівності. Множини істинності рівнянь

і нерівностей називаються множинами їх розв’язків, а кожний

N X

P

T

а о т ж е,

P ⊂ N T ⊂ X

елемент, або пара елементів у випадку двох змінних, називаєть_

ся розв’язком рівняння чи нерівності.

Дії над висловленнями

В математичній логіці над висловленнями можна виконува_

ти певні логічні операції, внаслідок чого з простих висловлень

утворювати складені висловлення. Розглянемо одну унарну і

чотири бінарні операції. Унарною називається операція, яка

виконується над одним об’єктом. Прикладом унарної операції в

математичній логіці є операція заперечення висловлення, яку

позначають A. (В теорії множин операція доповнення множи_

ни до універсальної (

A

) є також унарною). Бінарні операції

над висловленнями називаються диз’юнкція, кон’юнкція,

імплікація і еквіваленція висловлень. Бінарні операції виконують_

ся над двома об’єктами. (Прикладами бінарних операцій в теорії

множин є об’єднання, переріз, різниця і декартів добуток двох

множин). Розглянемо кожну з операцій.

а) Заперечення висловлення

Означення. Запереченням висловлення А називаєть)

Ся таке нове висловлення

, яке істинне тоді і лише

Тоді, коли А) хибне, а хибне тоді, коли А) істинне.

Читають висловлення

) “не А”, або “невірно, що

А”.

Це означає, що складене висловлення

утворюється з да_

ного простого висловлення А з допомогою частки “не”, або ж

слів “невірно, що...”

Наприклад: А: “натуральне число 6 _ парне”.

Запереченням цього висловлення є нове висловлення:

: “натуральне число 6 _ непарне”.

А _ істинне висловлення,

_ хибне висловлення. Згідно озна_

чення операції заперечення можна склас_

ти табличку значень логічної вартості (ча_

сто говорять і табличку істинності) цієї

операції:

Легко переконатись на прикладах та

з допомогою таблички істинності, що в результаті операції за_

A A

1 0

0 1

перечення висловлення A знову дістаємо висловлення А, тоб_

то

(A) = A

.

Цю властивість читають так: подвійне заперечення вис)

ловлення А дорівнює цьому ж висловленню А, і записують

без дужок: A = A. Її називають законом подвійного запере)

Чення висловлення.

Подвійне заперечення висловлення А в розглянутому вище

прикладі буде висловленням:

A: “невірно, що натуральне число 6 _ непарне”, що означає те

саме, що й висловлення А: “натуральне число 6 _ парне”.

б) Диз’юнкція двох висловлень

Означення. Диз’юнкцією двох висловлень А та В на)

Зивається таке нове складене висловлення А V В (чи)

Тають: “А або В”), яке істинне тоді і лише тоді, коли