Хоча б одне з висловлень А чи В істинне.

Відповідно до означення дії диз’юнкції можна скласти таб_

личку значень логічної вартості цієї дії.

Операцію диз’юнкцію назива_

ють також логічним додаванням, а

складене висловлення, отримане в

результаті диз’юнкції, називають

логічною сумою. Мабуть тому таб_

личка значень логічної вартості ди_

з’юнкції нагадує таблицю додаван_

ня чисел 1 і 0 за винятком випадку, коли обидва висловлення

істинні (бо 1+1≠1).

Можна стверджувати, що диз’юнкція хибна лише тоді,

Коли обидва висловлення хибні.

Приклад. Нехай дано два висловлення:

А: “7 > 3”, В: “7 кратне 3”. Очевидно, що А=1, В=0.

Утворимо диз’юнкцію цих висловлень:

АVВ: “7 > 3 або 7 кратне 3”. Це нове складене висловлення є

істинним, бо перше висловлення істинне. Отже, АVВ = 1.

А В А V В

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

А В С (В VС) АV (В V С)

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 0

А В С (АV В) (АV В) V С

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

Легко переконатись, що логічна вартість нового вислов_

лення, одержаного в результаті операції диз’юнкції, не зале_

жить від порядку, в якому прості висловлення вступають в опе_

рацію, тобто В V А = АV В. Цю властивість називають комута)

тивністю диз’юнкції.

Операцію диз’юнкції можна виконувати не лише над двома

висловленнями, але і над більшою їх кількістю, наприклад трьо_

ма. В такому разі бінарну операцію слід виконати двічі: спочат_

ку над двома висловленнями, а потім над отриманим результа_

том і третім висловленням.

Диз’юнкція володіє властивістю асоціативності:

(АVВ)VС = АV(ВVС)

В цьому легко переконатись з допомогою таблиці значень

логічної вартості. Відзначимо, що всі властивості дій в ал_

гебрі висловлень доводяться з допомогою таблиць значень

логічної вартості подібно до того, як властивості дій над мно_

жинами доводяться з допомогою кругів Ейлера.

Доведення полягає в тому, що окремо складаються таб_

лиці значень логічної вартості для правої та лівої частин

властивості (закону) і одержані результати співставляють_

ся. Якщо результати обох таблиць співпадають при одна_

кових значеннях вартостей даних висловлень, то влас_

тивість справедлива.

Покажемо це для доведення асоціативності диз’юнкції.

(АV В) V С = АV (В V С)

Очевидно, що результати в правих крайніх колонках обох

таблиць однакові, а це означає, що властивість асоціативності

диз’юнкції доведена.

в) Кон’юнкція двох висловлень

Означення: Кон’юнкцією двох висловлень А та В на_

зивається таке нове складене висловлення А ∧ В (чита_

ють: “А і В”), яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва

висловлення одночасно істинні.

Відповідно до означення дії кон’юнкції можна скласти таб_

личку значень логічної вартості цієї дії.

Дію кон’юнкції називають ще логічним

множенням, а результат цієї дії _ нове скла_

дене висловлення, яке називається також

кон’юнкцією, _ логічним добутком. Таб_

личка значень логічної вартості кон’юнкції

нагадує таблицю множення чисел 1 і 0.

Можна стверджувати також, що кон’юнкція хибна лише тоді, коли

хоч би одне з даних висловлень хибне.

Приклад: Нехай дано два висловлення:

А: “число 5 _ непарне”; В: “число 5 _ просте”.

Утворимо кон’юнкцію даних висловлень, тобто нове складе_

не висловлення з допомогою сполучника “і”. Оскільки в обох

простих висловленнях однаковий підмет, то в складеному вис_

ловленні його вживають один раз, а тому: А ∧ В: “число 5 непар_

не і просте”. Кон’юнкція є істинним висловленням, оскільки

обидва висловлення істинні.

Легко переконатись, що в результаті кон’юнкції висловлень,

взятих в зворотному порядку (В ∧ А), одержимо висловлення

тієї ж самої логічної вартості, що й кон’юнкція А ∧ В.

В розглянутому прикладі кон’юнкція В ∧ А: “число 5 просте і

непарне” також є істинним висловленням. Отже, кон’юнкція, як і

диз’юнкція, підлягає комутативному законові:

А ∧ В = В ∧ А.

Кон’юнкцію можна виконувати не тільки над двома, але й трьо_

ма і більше висловленнями. В такому разі знаходять спочатку

кон’юнкцію двох висловлень, потім _ отриманого результату і

третього висловлення і т.д.

Кон’юнкція трьох висловлень підлягає асоціативному зако_

нові:

(А ∧ В) ∧ С= А ∧ (В ∧ С).

А В А ∧ В

1 1 1

0 1 0

0 0 0

1 0 0

А В А ⇒ В

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

г) Імплікація двох висловлень

Означення. Імплікацією двох висловлень А та В на)

Зивають таке нове складене висловлення

А ⇒ В (читають: “якщо А, то В”), яке хибне тоді і тільки

Тоді, коли А) істинне, а В) хибне. Висловлення А в

імплікації А ⇒ В називається умовою (антецедентом),

А висловлення В) висновком (консеквентом).

Відповідно до означення імплікації можна скласти табличку

значень логічної вартості імплікації двох висловлень:

Приклад. Нехай дано 2 вислов_

лення:

А: “Число 245 ділиться на 5” і В:

“Число 245 закінчується цифрою

5”. А=1; В=1. З допомогою сполуч_

ників “якщо..., то...” утворимо

складене висловлення, яке нази_

вається імплікацією:

А ⇒ В: “Якщо число 245 ділиться на 5, то воно закінчується

цифрою 5”.

Зауважимо, що якщо у простих висловленнях йдеться про

один і той самий об’єкт (однакові підмети в граматичному

сенсі), то його вживають в умові імплікації, а у висновку заміню_

ють його займенником.

З допомогою таблиці значень логічної вартості легко довес_

ти властивість, яка зв’язує операцію імплікацію з операц)

іями диз’юнкції та заперечення.

А ⇒ В = A V В

Цю властивість часто доводиться використовувати при ви_

конанні тотожних перетворень виразів, що вміщують дії над вис_

ловленнями. Доведемо її.

А ⇒ В

А В А ⇒ B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

A V В

А В A A V В

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

Оскільки значення логічної вартості складених висловлень у

правих колонках обох таблиць при однакових значеннях логіч_

ної вартості простих висловлень А та В однакові, то це означає,

що властивість справедлива.

Легко переконатись з допомогою таблиць значень логічної

вартості, що імплікація не підлягає комутативному законові А ⇒

В ≠ В ⇒ А.. Це означає, що якщо поміняти місцями умову і вис_

новок, то одержуємо зовсім іншу імплікацію, яку називають

імплікацією, оберненою до даної.

Нехай (1) А ⇒ В ) дана імплікація, тоді

(2) В ⇒ А ) імплікація, обернена даній.

Якщо в даній імплікації (А ⇒ В) виконати заперечення умови

і висновку, то одержимо імплікацію, протилежну до даної.

(3) A ⇒ B ) імплікація, протилежна даній.

Якщо в останній імплікації поміняти місцями умову і висно_

вок, то одержимо імплікацію, обернену до протилежної.

(4) B ⇒ A _ імплікація, обернена до протилежної.

Останнього виду імплікацію можна одержати з імплікації,

оберненої до даної (2), виконавши в ній заперечення умови і

висновку. Тоді імплікацію B ⇒ A називають протилежною до

оберненої. З допомогою таблиці значень логічної вартості вста_

новимо зв’язки між вартостями різних видів імплікацій, одер_

жаних з одних і тих самих висловлень.

Очевидно, що логічна вартість висловлень в колонках під но_

мерами 5 і 8 однакова; так само логічна вартість висловлень в

колонках під номерами 6 і 7 також однакова. Це означає, що

дана імплікація і імплікація, обернена до протилежної, при од_

накових значеннях простих висловлень приймають однакові

значення логічної вартості. Аналогічно імплікація, обернена

даній, і імплікація, протилежна до даної, при однакових значен_

А В A B А ⇒ В В ⇒ А A ⇒ B B ⇒ A

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1

нях простих висловлень приймають однакові значення логічної

вартості. Такі пари імплікацій називають рівносильними або ек_

вівалентними, тобто можемо записати такі властивості:

1) А⇒В = B ⇒ A

2) В⇒А = A ⇒ B.

Структура їх однакова, тому достатньо розглядати першу з

них. Цю властивість називають ще законом транспозиції. На ній

грунтується метод доведення тверджень _ від супротивного.

д) Еквіваленція двох висловлень.

Означення. Еквіваленцією двох висловлень А та В

називається таке нове складене висловлення А ~ В

(читають: “А тоді і тільки тоді, коли В”, або “А рівно)

сильне В”), яке істинне тоді і тільки тоді, коли зна)

Чення вартостей висловлень однакові.

Замість знака ~ використовують часто знак ⇔.

Іншими словами, еквіваленція істинна у випадках, коли обид_

ва прості висловлення одночасно істинні, або коли вони одно_

часно хибні. У випадку, коли одне з простих висловлень істин_

не, а друге _ хибне, еквіваленція хибна.

Згідно означення, таблиця значень логічної вартості еквіва_

ленції прийме вигляд:

Еквіваленція зв’язана з операці_

ями імплікації і кон’юнкції такою

властивістю:

А ⇔ В = (А⇒В) ∧ (В⇒А)

Словесно формулюють її так: ек)

Віваленція двох висловлень до)