Зразки розв’язування вправ з теми: “Правильні і не)

правильні міркування. Структура міркувань”

Вище в ході розкриття змісту теми подано зразки виконання

вправ на а) побудову міркування в процесі розв’язування задачі

на визначення сторін прямокутного трикутника за гіпотенузою і

гострим кутом; б)на виявлення логічної структури міркування і

встановлення, за яким правилом воно побудоване; в) на

обгрунтування правильності чи неправильності міркування; г)

на запис міркування в символах математичної логіки чи з

допомогою теоретико_множинної символіки; д)на побудову

діаграми Ейлера_Венна, яка ілюструє дане міркування. Наведемо

зразок розв’язування ще однієї вправи:

Завдання 1 Виявити логічну структуру даного міркування,

встановити за яким правилом воно побудоване, записати його

в символах математичної логіки та в теоретико_множинній сим_

воліці і побудувати діаграму Ейлера_Венна, яка ілюструє це мірку_

вання: “Оскільки деякі числа, кратні трьом, діляться на 5, і деякі

парні числа _ кратні трьом, то деякі парні числа діляться на 5”.

Розв ’ язування: Дане міркування має імплікативну структуру

(оскільки...,то...). Умова цієї імплікації являє собою кон’юнкцію

двох частково стверджувальних висловлень, кожне з яких

містить квантор існування “деякі”. Отже, умова міркування має

кон’юнктивну структуру. Висновок міркування являє собою одне

частково стверджувальне висловлення, яке містить квантор існу_

вання “деякі”. Через те, що квантори навішуються на предикати,

то виявимо, з яких предикатів складається дане міркування, і на

якій множині задані ці предикати. Зрозуміло, що поняття пар_

ного числа, числа кратного 3, так само як і відношення под_

ільності стосуються натуральних чисел, а отже, областю визна_

чення предикатів, які утворюють міркування, є множина нату_

ральних чисел N. Введемо позначення: х _ довільне натуральне

число, тобто елемент з множини N(х є N); А(х): “число х кратне

3”; В(х): “число х ділиться на 5”; С(х): “число х _ парне”.

Перше висловлення умови міркування “Деякі числа, кратні

трьом, діляться на 5” означає, що існують натуральні числа, які і

кратні трьом, і діляться на 5. В символах математичної логіки це

висловлення запишеться так:

(∃ х є N) [A(х) ∧В(х)].

Друге висловлення умови міркування “Деякі парні числа _

кратні трьом” означає, що існують натуральні числа, які є

парними, і одночасно кратні трьом. В символах математичної

логіки друге висловлення запишеться так:

(∃ х є N) [C(х) ∧ A(х)].

Кон’юнкція обох висловлень є умовою даного міркування. А

отже, умову можна записати так:

(х є N) [A(х) ∧B(х∃)] ∧(х є N) [C(х) ∧A(х)].

Висновок міркування “Деякі парні числа діляться на 5”

означає, що існують парні числа, які діляться на 5. В символах

математичної логіки висновок можна записати так: (

х є N) [C(х)

∧ В(х)].

отже, дане міркування з допомогою символів математичної

логіки слід записати так:

(

х є N)[А(х)∧ В(х)]∧(

х є N)[C(х) ∧А(х)]

⇒

(

х єN)[C(х) ∧В(х)

або ж так: (

∃

х є N) [А(х) ∧В(х)]

(

х є N) [C(х) ∧А(х)]

(

х є N) [C(х) ∧В(х), або коротше

Деякі А є В

деякі С є А

деякі С є В, де буквами А, В, С позначені множини, які є

областями істинності даних предикатів, тобто класи чисел, про

які йдеться в міркуванні.

Одержаний символічний запис логічної структури даного

міркування свідчить про те, що воно побудоване за правилом

силогізму, утвореного із частковостверджувальних висловлень.

Щоб записати дане міркування в теоретико_множинній

символіці, треба замість предикатів записати відношення

належності деякого елемента певному класові. Наприклад,

предикат А(х) означає з точки зору теорії множин, що елемент х

належить до класу А _ тих натуральних чисел, які кратні 3 (х є А).

Аналогічні записи виконаємо замість інших предикатів,

внаслідок чого одержимо таку форму запису:

(

∃

х є N) [х є А∧х є В]

(

х є N) [х є С∧х єА]

(

х є N) [х є С∧х є В]

Множини А, В, С є власними підмножинами області визна_

чення предикатів: А

⊂

N, В ⊂ N, С ⊂ N. Побудуємо діаграму

Ейлера_Венна, яка ілюструє зв’язки між класами, вказаними у

міркуванні:

Висновок міркування істинний і

йому відповідає область, заштрихова_

на на діаграмі.

Отже, дане міркування побудоване

за правилом силогізму, утвореного із

істинних частковостверджувальних

висловлень, ілюструється єдиною

діаграмою, а тому воно дедуктивне,

тобто правильне.

Завдання для самостійної роботи.

Завдання 1. Запишіть міркування, які приводять до розв’_

язку поданих задач:

1)Обчислити усно добуток чисел 18 і 4.

2) Обчислити усно частку чисел 39 і 3.

3) Обчислити усно частку чисел 72 і 4.

4) Обчислити усно частку чисел 80 і 20.

5) Знайти довжину середньої лінії рівнобедреної трапеції,

периметр якої 51 см, а бічна сторона дорівнює 12 см.

6) Знайти площу рівнобедреної трапеції, периметр якої

51см, бічна сторона 12 см, а гострий кут дорівнює 600.

7) Знайти площу ромба, якщо його сторона дорівнює

5 см, а одна з діагоналей 8 см.

8) Знайти площу ромба із стороною 5 см, якщо одна з його

діагоналей дорівнює 6 см.

9) Діагональ прямокутника дорівнює 10 см, а одна з його

сторін 6 см. Яка площа прямокутника?

N

A

B

C

10) Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 8 см, а менша

діагональ дорівнює меншій стороні. Яка площа паралелограма?

Завдання 2. Визначте логічну структуру поданих міркувань,

обгрунтуйте правила, за якими побудовані міркування.

Запишіть їх в символах математичної логіки та в теоретико_

множинних символах, побудуйте всі можливі діаграми Ейлера_

Венна, які ілюструють міркування, а отже, обгрунтуйте

правильність (чи неправильність) міркування:

1) Всі круглі числа _ парні. Число 30 _ кругле. Отже, воно парне.

2) Всі круглі числа _ парні. Число 25 _ непарне. Отже, воно

некругле.

3) Всі числа, кратні 8, діляться на 4. Всі числа, які діляться на

4, _ парні. Отже, всі числа, кратні 8, парні.

4) Всі числа, кратні 25, діляться на 5. Всі числа, які діляться

на 5, закінчуються цифрою 0 або 5. Отже, всі числа, кратні 25,

закінчуються цифрою 0 або 5.

5) Всі числа, кратні 4, _ парні. Деякі числа, кратні 5, _ кратні і

4. Отже, деякі числа, кратні 5, _ парні.

6) Деякі числа, кратні 4, діляться на 3. Деякі парні числа _

кратні 4. отже, деякі парні числа діляться на 3.

7) Деякі числа, кратні 5, діляться на 3. Деякі парні числа _

кратні 5. Отже, деякі парні числа діляться на 3.

8) Деякі числа, кратні 5, _ круглі. Деякі парні числа _ кратні 5.

Отже, деякі парні числа _ круглі.

9)Деякі непарні числа _ кратні 5. Деякі числа, кратні 3, _

непарні. Отже, деякі числа, кратні 3, кратні і 5.

10) Деякі числа, кратні 3, діляться на 9. Деякі парні числа _

кратні 3. Отже, деякі парні числа діляться на 9.

11) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 45 _ кратне 3.

Отже, воно ділиться на 9.

12) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 45 ділиться на

9. Отже, воно _кратне 3.

13) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 15 кратне 3.

Отже, число 15 ділиться на 9.

14) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 25 не кратне 3.

Отже, воно не ділиться на 9.

15) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 25 не ділиться

на 9. Отже, воно не кратне 3.

16) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Деякі парні числа

кратні 3. Отже, деякі парні числа діляться на 9.

17)Всі числа, які кратні 4, _ парні. Деякі числа, кратні 5, _ парні.

Отже, деякі числа кратні 5, _ кратні і 4.

18) Деякі круглі числа діляться на 3. Деякі парні числа _ круглі.

Отже, деякі парні числа діляться на 3.

19) Деякі парні числа _ кратні 7. Деякі числа, кратні 3, _

парні. Отже, деякі числа, кратні 3, _ кратні й 7.

20) Деякі парні числа _ кратні 3. Деякі парні числа _ кратні 7.

Отже, деякі числа, кратні 3, _ кратні й 7.

Завдання 3. Обгрунтувати, чи правильнi поданi мiркування.

Якщо мiркування неправильне, змiнiть його так, щоб воно стало

правильним. Запишiть данi та змiненi мiркування в символічнiй

формi. Побудуйте вiдповiднi дiаграми Ейлера_Венна.

1)В довiльному рiвносторонньому трикутнику висоти рiвнi мiж

собою. Кожний рiвностороннiй трикутник _ рiвнобедрений. Отже,

в кожному рiвнобедреному трикутнику висоти рiвнi мiж собою.

2)Всi рiвностороннi трикутники _ гострокутнi. Деякi

рiвнобедренi трикутники _ рiвностороннi. Отже, деякi

рiвнобедренi трикутники _ гострокутнi.

3)Всi рiвностороннi трикутники _ рiвнобедренi. Деякi

гострокутнi трикутники _ рiвностороннi. Отже, деякi гострокутнi

трикутники _ рiвнобедренi.

4)Деякi рiвнобедренi трикутники _ рiвностороннi. Деякi

прямокутнi трикутники _ рiвнобедренi. Отже, деякi прямокутнi

трикутники _ рiвностороннi.

5)Деякi ромби _ квадрати. Деякi паралелограми _ ромби.

Отже, деякi паралелограми _ квадрати.

6)Усi квадрати _ ромби. Деякi прямокутники _ квадрати.

Отже, деякi прямокутники _ ромби.

7)Усi прямокутники мають рiвнi дiагоналi. Деякi ромби _

прямокутники. Отже, деякi ромби мають рiвнi дiагоналi.

8)У кожного ромба дiагоналi взаємно перпендикулярнi. Деякi

прямокутники _ ромби. Отже, у деяких прямокутникiв дiагоналi

взаємно перпендикулярнi.

9)Деякi прямокутники _ ромби. Деякi паралелограми _

прямокутники. Отже, деякi паралелограми _ ромби.

10)У будь_якої рiвнобедреної трапецiї дiагоналi рiвнi. Деякi

опуклi чотирикутники _ рiвнобедренi трапецiї. Отже, у деяких

опуклих чотирикутникiв дiагоналi рiвнi.

11)Деякi паралелограми _ квадрати. Деякi опуклi чотирикутники

_паралелограми. Отже, деякi опуклi чотирикутники _ квадрати.

Список літератури

1. Арутюнов В.Х., Мішин В.М., Кирик Д.П. Логіка: Навчаль_

ний посібник для економістів, К., 2000. — 144с.

2. Берков В.Ф. и др. Логика / В.Ф. Берков, Я.С. Яскевич,

В.И. Павлюкевич. – Мн. НТ∈∈∈ “ТетраСистемс”, 1997. – 480с.

3. Івін ∈.А. Логіка: Експериментальний навчальний посібник

для факультативних курсів за вибором учнів старших класів за_

гальноосвітніх шкіл, ліцеїв, гімназій. – К.: “АртЕк”, 1996. – 232с.

4. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: Учебник для юри_

дических вузов. – М.: Юрист, 1999. – 256с.

5. Конверський А.Є. Логіка: Підручник для студентів вищих

навчальних закладів. – К.: Український центр духовної культури,

1999. – 400 с.

6. Пасічник Я.А. Математика (Лекції для студентів_еко_

номістів). – 2_ге вид., доповнене, уточнене. – ∈строг: ∈строзька

Академія, 2000. – 284с.

7. Пасічник Я.А. Математика. Елементи математичної логі_

ки. Методичний посібник для студентів факультетів підготовки

вчителів початкових класів педагогічних інститутів, Рівне, 1997.

– 159с.

8. Тофтул М.Г. Логіка. Посібник для студентів вищих навчаль_

них закладів. – К.: Видавничий центр “Академія”, 1999. – 336с.

9. Хоменко І.В. Логіка – юристам: Підручник. – К.: Четверта

хвиля, 1997. – 392с.

Зміст

ПЕРЕДМОВА........................................... 3

Вступ.................................................... 4

ТЕМА 1. Поняття як форма мислення.......... 5

Логiчнi прийоми утворення понять...................................... 5

Зміст і обсяг поняття. Види понять..................................... 6

Відношення між поняттями................................................10

Логічні операції з поняттями: узагальнення і обмеження

понять; означення понять..............................................14

Способи означення понять. Правила означення..................16

Подiл обсягу поняття. Класифiкацiя понять.........................20

Зразки розв’язування вправ з теми: “Поняття як форма

мислення”.....................................................................23

Завдання для самостійної роботи:.....................................25