Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Над ними. Закони алгебри висловлень”.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Завдання 1. Обгрунтуйте, які з речень є висловленнями, і визначте значення їх вартості: а) Рівне _ велике місто України; б) В Рівному є музично_драматичний театр; в) Алло, це гуртожиток? г) Квітни, моя земле! д) Число 257 кратне 3; е) Число 5 є коренем рівняння 3х _ 15 = 0. є) 2х + 5 = 0. ж) х + у = z. Розв’язування. Для обгрунтування скористаємось теоретич_ ними відомостями, які розкривають поняття висловлення. Ре_ чення а) має відносний, суб’єктивний характер, оскільки місто Рівне _ велике порівняно з меншими від нього містами, наприк_ лад, Острог, Дубно, але мале в порівнянні з іншими містами, A B A∧B A∧B A B A∨B A∧B⇔A∨B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 більшими від нього, наприклад, Львів, Київ. А тому речення а) не є висловленням. У реченні б) стверджується існування му_ зично_драматичного театру в Рівному. А це справді так. Отже, речення б) є істинним висловленням. Речення в) _ питальне, а речення г) _ окличне, і тому вони не є висловленнями. Речення д) є висловленням, бо в ньому стверджується подільність числа 257 на 3. Щоб з’ясувати його логічну вартість, треба виконати дію ділення 257: 3. Оскільки число 257 ділиться на 3 з остачею, то це висловлення хибне. В реченні е) стверджується, що число 5 є коренем рівняння 3х _ 15 = 0. А отже, це речення є висловленням. Для того, щоб встановити значення його логічної вартості, треба з’ясувати, чи справді число 5 є коренем даного рівняння. А тому потрібно розв’язати рівняння 3х _ 15 = 0 (3х = 15; х = 5). Отже, число 5 є справді коренем даного рівняння. Таким чином речення е) є істинним висловлен_ ням. Речення є) не є висловленням, бо вміщує змінну х і може при певних значеннях її перетворюватись в істинне висловлення, а при деяких в хибне. Отже, це речення є висловлювальною фор_ мою з однією змінною або одномісним предикатом. Речення ж) вміщує три змінні, а тому воно є висловлюваль_ ною формою з трьома змінними, або тримісним предикатом. Завдання 2. Визначте значення логічної вартості поданих висловлень, з’ясуйте їх логічну структуру: а) 2 2 > 3; б) sin ð < cos ð; в) Число 15 непарне і ділиться на 5; г) Число 345 ділиться на 3 і на 5; д) sin sin sin sin... π π π π 4 4 4 4 + 2 + 3 + 4 + =2+ 2. Розв’язування. Значення логічної вартості простого (еле_ ментарного) висловлення визначається, виходячи із змісту, спираючись на досвід і знання. Щоб визначити вартість складеного висловлення, потрібно, крім цього, знати суть логічних сполучників, з допомогою яких утворено складене висловлення, і вміти виділяти логічну струк_ туру висловлення. А для цього потрібно встановити, з яких про_ стих висловлень воно утворене, яка їх логічна вартість, з допо_ могою яких сполучників з’єднуються прості висловлення, тоб_ то яку логічну операцію виконано над простими висловлення_ ми і який випадок в таблиці значень логічної вартості цієї опе_ рації відповідає цьому складеному висловленню. а) Це просте висловлення, оскільки виражає відношення “бути більшим” між двома числовими виразами. Щоб визна_ чити істинне воно чи хибне, потрібно обчислити значення цих виразів. Обчислення виконаємо наближено: 2 2≈2⋅1,4=2,8; 3≈1,7; 2,8>1,7. отже, 2 2> 3 _ висловлення істинне. Висновок цей можна записати символічно так: A: "2 2 > 3". A =1. б) В: “sin ð < cos ð” _ це просте висловлення, яке виражає відношення “бути меншим” між значеннями тригонометричних функцій синуса і косинуса кута ð. Щоб встановити логічну вартість висловлення, треба співставити числові значення цих функцій для кута ð. sinπ=0, cosπ=−1; 0 < _1 _ це хибне висловлення. А тому висловлення В: “sin ð < cos ð” _ хибне, тобто В=0. в) Висловлення С: “Число 15 непарне і ділиться на 5” є скла_ деним, бо вміщує логічний сполучник “і”, який з’єднує два прості висловлення: Д: “Число 15 непарне” і F: “Число 15 ділиться на 5”. Висловлення Д істинне (Д=1) і висловлення F також істинне (F= 1). Висловлення С є кон’юнкцією висловлень Д і F, тобто С = Д ∧ F. Згідно означення кон’юнкції висловлення С _ істинне (С = 1), бо Д і F _ істинні висловлення: 1 ∧ 1 = 1. г) Висловлення А: “Число 345 ділиться на 3 і на 5” є складеним, бо вміщує сполучник і, який з’єднує два прості висловлення: В: “Число 345 ділиться на 3”, С: “Число 345 ділиться на 5”. В = 1, С = 1. А = В∧С. 1 ∧ 1 = 1; А=1. Звертаємо увагу, що при розв’язуванні цієї вправи ми звели до мінімуму словесні пояснення, а обгрунтування записали в символічній формі. д) Подана рівність є простим висловленням, яке словесно можна прочитати так: “Нескінченна сума всіх натуральних сте_ пенів значення синуса кута π дорівнює 2 + 2.” Для того, щоб визначити його логічну вартість, потрібно обчислити цю суму і співставити її із сумою 2 + 2. Проведемо обчислення, попе_ редньо позначивши дане висловлення буквою А. A: "sin sin sin sin...." π π π π 4 4 4 4 + 2 + 3 + 4 + =2+ 2 Знаючи, що s in π =, перепишемо суму в лівій частині так: 2 3 4 2 3 + + + + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ... +... Введена форма запису суми дозволяє стверджувати, що шукана сума є сумою членів геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 1 2, а знаменник прогресії також дорівнює . Отже, a q 1 =, =. Оскільки q < 1 і сума складається з не_ скінченного числа членів прогресії, то її можна знайти за фор_ мулою суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії: S a q = − . А тому шукана сума дорівнює: S = − = − = ⋅ − = − = + − + = + − = + 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 : 2 1 () () ()() . Оскільки 2 + 1 ≠ 2 + 2, то дане висловлення хибне. Завдання 3. Виконайте заперечення поданих висловлень і визначте їх логічну вартість: а) А: “2+ sin ð=2”, б) B: “5 tg ð_ð<2ð” Розв’язування: а) Спочатку визначимо значення логічної вартості висловлення А. Для цього перевіримо, чи сума 2 + sinπ дорівнює 2. sinπ =0, 2+sinπ =2+0=2. 2=2, Отже, висловлення А істинне. А = 1. Заперечення висловлення можна утворити з допомогою частки “не” або слів “невірно, що...”, а тому: A: "2+sinπ ≠2", A =0; або A: "Невірно, що 2+sinπ =2". A =0. В першому випадку заперечення висловлення А слід читати: “Сума (2+sinπ) не дорівнює 2”, а в другому _ “невірно, що сума 2+sin ð =2”. б)Визначимо значення логічної вартості висловлення В, для чого перевіримо правильність нерівності: 5 tg π −π <2π. tg π=0,5 tg π−π=5⋅0−π=−π.−π<2 Отже, В = 1. Заперечення утворимо двома способами: B : “Різниця (5 tg π − π) не менша 2ð”. Як відомо, відно_ шення “не менша” можна замінити відношенням “більша або рівна” і символічно записати так: B: 5 tg π −π ≥2π ". B = 0, або ж B: " Невірно,що 5 tg π −π <2π ". B = 0. Завдання 4. Виконайте різними способами заперечення складеного висловлення, обгрунтуйте його структуру і визнач_ те значення логічної вартості. А: “число 141 _ просте або ділиться на 9”. Розв’язування: Висловлення А є диз’юнкцією простих вис_ ловлень, які з’єднані сполучником “або”. В: “число 141 _ просте”, С: “число 141 ділиться на 9”. В=0, С=0. А=В∨С, А=0. Утворимо заперечення за допомогою слів “невірно, що...” A : “невірно, що число 141 _ просте або ділиться на 9”. A =(B ∨ C). За законом де Моргана заперечення диз’юнкції дорівнює кон’юнкції заперечень, тобто B ∨ C = B ∧ C , B: “число 141 _ не просте”, C: “число 141 не ділиться на 9”. B ∧ C: “число 141 _ не просте і не ділиться на 9”. B =1; C =1, B ∧ C =1∧1=1. отже, A = B ∨ C = B ∧ C, A =1. Остаточно, заперечення даного висловлення A має вигляд: A: “невірно, що число 141 _ просте або ділиться на 9” або A: “число 141 _ не просте і не ділиться на 9”. Згідно закону де Моргана останні два висловлення рівно_ сильні між собою: B ∨ C ⇔ B ∧ C . Завдання 5. Над поданими висловленнями А та В виконай_ те операції заперечення, диз’юнкції, кон’юнкції, імплікації і екві_ валенції, визначте їх логічну вартість. Утворіть всі види імплікації і визначте їх логічну вартість, якщо А: “число 216 кратне 4”, В: “число 216 парне”. Розв’язання: Визначимо вартість даних висловлень. А=1; В=1. Виконаємо заперечення кожного з висловлень: A: “число 216 не кратне 4”. A =0. B: “число 216 не парне”. B =0. Диз’юнкція: А∨В: “число 216 кратне 4 або парне”. 1∨1=1. Отже, А∨В=1. Кон’юнкція: А∧В: “число 216 кратне 4 і парне”. 1∧1=1. Отже, А∧В=1. Імплікація: А⇒В: “Якщо число 216 кратне 4, то воно парне”. 1⇒_____1=1. Отже, А⇒В=1. Еквіваленція: А~В: “число 216 кратне 4 тоді і тільки тоді, коли воно парне”. 1~1=1. Отже, А~В=1. Утворимо всі види імплікації з даних висловлень. 1) А⇒В: “Якщо число 216 кратне 4, то воно парне”. 1⇒ 1=1, А⇒В=1. 2) З даної імплікації, помінявши місцями умову і висновок, утворимо імплікацію, обернену до неї: В ⇒А: “Якщо число 216 парне, то воно кратне 4”. 1 ⇒1=1,В⇒А=1. 3) Виконаємо заперечення умови і висновку даної імплікації (1), внаслідок чого одержимо імплікацію, протилежну до даної: A ⇒ B: “Якщо число 216 не кратне 4, то воно непарне”. 0⇒0=1. отже, A ⇒ B =1. 4) Поміняємо місцями умову і висновок імплікації, протилежної до даної, і дістанемо імплікацію, обернену до протилежної: B ⇒ A: “Якщо число 216 непарне, то воно не кратне 4”. 0⇒0=1. отже, B ⇒ A =1. Завдання для самостійної роботи. Завдання 1. Обгрунтуйте, які з речень є висловленнями і визначте значення їх логічної вартості: 1) Число 7 _ натуральне; 2) 5 + 3 = 9; 3) Математика _ цікава наука; 4) 20: 4 _ 2; 5) 2 > 2; 6) ð < 2; 7) lg2 > 1; 8) cos 2π〉 cosπ; 9) tgð > ð; 10) lg 10< ð; 11) lg 100 = 2 s in π ; 12) 0,5 = 50%; 13) 0,5 • 100 = lg 10; 14) 3 • • =; 15) 0 • ð = 5 _ 5 • 7; 16) ð > 3,14; 17) 0 75 3 0 25 0 75 1 0 25 ,, ,, − ⋅ + ⋅ = 18) 0 25 3 0 25 0 75 − ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ,, , ; 19) 2 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + + =; 20) 2 3 3 2 3 2 2 3 + − + − + =; 21) Число 3 є коренем рівняння х2 _ 9 = 0; 22) Число 351 кратне 9; 23) При діленні числа 23 на число 4 дістаємо остачу, яка дорівнює 3; 24) Число 381 є квадратом числа 19; 25) Всі раціональні числа додатні. Завдання 2. Визначте логічну структуру висловлень і їх логічну вартість. 1) Число 15 двоцифрове і непарне; 2) Число 257 не ділиться на 5 без остачі; 3) Якщо число 315 ділиться на 9, то воно ділиться на 3; 4) Якщо число 314 не ділиться на 4, то воно не ділиться на 2; 5) Число 124 ділиться на 3 або на 4; 6) Якщо число 356 ділиться на 4, то воно ділиться на 2; 7) Якщо число 75 непарне, то воно не ділиться на 4; 8) Число 128 ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли воно парне; 9) Число 513 ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 3; 10) Якщо сума цифр числа 759 ділиться на 9, то воно ділиться на 9; 11) sin sin sin sin... π π π π 6 6 6 6 1 2 3 4 + + + + =; 12) lg 10+lg2 10+lg3 10+lg4 10+...=2; 13) + + + +...= 1; 14) 1+2+3+4+...+ n n n = 2 + ; 15) Відстань між точками А(_7;7) і В(_3;4) дорівнює 5; 16) Відстань між точками А(_3;5) і В(1;2) дорівнює 5; 17) Відстань між точками А(5;1) і В(2;_3) дорівнює 5; 18) 7 + 12 ≤ 19; 19) з15 _ 18 з ≤ 5; 20) з_17 + 6 з 11; 21) Відношення паралельності між прямими на площині є відношенням еквівалентності; 22) Відношення перпендикулярності між прямими на площині є відношенням еквівалентності; 23) Відношення подібності фігур є відношенням еквівалентності; 24) Відношення рівності числових виразів є відношенням еквівалентності; 25) Якщо число (_15) раціональне, то воно дійсне. Завдання 3. Виконайте заперечення поданих висловлень і визначте їх логічну вартість: 1) 5+3cosπ =2 ; 2) 5−4cosπ 1 3) 3+lg 10≠lg 1000 ; 4) 3 lg 100 〈 2 3; 5) 2lg10〉 sin π; 6) sinπ ≥ tg π ; 7) sin π ≤ cosπ; 8) 3sinπ +π 〈π ; 9) 6 tg π +π ≠2π ; 10) tg π +sin π ≠0 ; 11) sin sin π π 3 4 >; 12) s in sin π π 3 6 >; 13) sin sin π π 4 6 >; 14) cos cos π π 3 4 >; 15) cos cos π π 3 6 >; 16) cos cos π π 4 6 <; 17) sin cos π π 3 3 <; 18) sin cos π π 6 6 <; 19) sin cos π π 4 6 <; 20) sin cos π 4 4 <. Завдання 4. Виконайте різними способами заперечення складених висловлень, визначте їх логічну вартість. Обгрунтуй_ те структуру даного висловлення і його заперечення. 1)Число 43 просте або ділиться на 3; 2)Число 45 ділиться на 3 і на 5; 3)Число 75 двоцифрове і кратне 5; 4)Число 514 ділиться на 2 або на 4; 5)Число 514 ділиться на 2 і на 4; 6)Число 27 додатне і ділиться на 9; 7)Число 27 двоцифрове або парне; 8)Число 38 парне і менше 40; 9)Число 38 кратне 3 або парне; 10)Число 23 кратне 3 або просте; 11)Число 23 непарне або просте; 12) sin cos; π π 4 4 ≤ 13) sin π ≤ cos 2π; 14) sin sin; π π 2 4 ≥ 15) cos cos. π π 2 4 ≤ Завдання 5. Над поданими висловленнями А та В виконай_ те операції заперечення, диз’юнкції, кон’юнкції, імплікації та ек_ віваленції. Визначте логічну вартість одержаних висловлень. Ут_ воріть всі види імплікацій, визначте їх логічну вартість, якщо: 1) А: “Число 47 просте”, В: “число 47 непарне”; 2) А: “Число 49 просте”, В: “число 49 непарне”; 3) А: “Число 43 двоцифрове”, В: “число 43 кратне 3”; 4) А: “Число 126 кратне 9”, В: “Число 126 кратне 3”; 5) А: “Число 425 складене”, В: “Число 425 кратне 5”; 6) А: “Число 100 кругле”, B: “ lg100 = 2 ” 7) А: “число _ дійсне”, В: “ sin π = ”; 8) A: “ sin π = ”, В: “ cos π = ” 9) А: “ sin cos π π 3 6 = ”, В: “ tg tg π π 3 6 < ” 10) А: “ sin cos π π 6 6 = ”, В: “ tg tg π π 6 3 < ” Завдання 6. Побудуйте таблиці значень логічної вартості складених висловлень, отриманих в результаті виконання вка_ заних операцій. Виберіть серед них рівносильні висловлення. 1) А⇒(B∨C) 2) A⇒(B∨C) 3) A⇒(B∧C) 4) A⇒(B∧C) 5) А⇒(B⇒C) 6) A⇒(B⇒C) 7) А⇒(B⇔C) 8) A⇒(B⇔C) 9) A⇔(B∧C) 10) A⇔(B∧C) 11) A⇔(B∨C) 12) A⇔(B∨C) 13) A⇔(B⇒C) 14) A⇔(B⇒C) 15) A⇔(B∧C) 16) A⇔(B∨C) 17) A⇔(B⇒C) 18) A⇔(B⇔C) 19) A⇔(B⇔C) 20) A⇔(B⇔C) 21) A∨(B⇒C) 22) A∧(B⇔C) 23) A ∧(B⇒C) 24) A ∨(B⇒C) 25) A ∧(B⇔C) 26) A ∨(B⇔C) 27)((A⇒B)∧(A⇔B))
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 390; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.176.213 (0.007 с.) |