Зразки розв’язування вправ з теми: “Будова теореми.

Види теорем”.

Завдання 1.

Визначити _____структуру теореми, яка виражає властивість

ромба, і записати її символічно: “Діагоналі ромба взаємно

перпендикулярні і ділять його кути пополам”.

Розв ’ язування. Дана теорема сформульована в

категоричній формі. Щоб визначити її структуру і записати

символічно, необхідно встановити, з яких простих предикатів

вона складається, і на якій множині ці предикати задані, тобто

на якій множині вони перетворюються в істинне чи хибне

висловлення. Після чого сформулювати теорему в

імплікативній формі, тобто утворити імплікацію з виділених

простих предикатів, вказати, які предикати є умовою теореми,

а які висновком. Для цього розмірковуємо, яких об’єктів

стосується дана теорема (твердження), з якої множини

вибираються ці об’єкти. Очевидно, що твердження стосується

ромбів, які вибираються з множини чотирикутників. А тому

змінна х позначатиме довільний чотирикутник з множини Х

всіх чотирикутників (∀ х∈Х). Оскільки теорема стосується не

всіх чотирикутників, а лише тих, які є ромбами, тому

позначимо через А(х) предикат: “чотирикутник х є ромбом”.

Теорема стверджує, що “якщо вибраний чотирикутник ромб,

то в ньому діагоналі взаємно перпендикулярні і ділять його

кути пополам”. Отже, предикат А(х) буде умовою теореми.

Введемо два нові предикати В(х) і С(х), які з’єднуються

кон’юнктивно і є висновком теореми: В(х):“діагоналі

чотирикутника х взаємно перпендикулярні”, С(х): “діагоналі

чотирикутника х ділять його кути пополам”. Тепер утворимо

імплікацію, умовою якої є предикат А(х), а висновком _

кон’юнкція предикатів В(х) та С(х):

A(х) ⇒ B(х) ∧ С(х).

Оскільки ця імплікація істинна на всій множині чотирикутників,

а отже, виражає відношення логічного слідування між

предикатами А(х) та В(х) ∧ С(х), то, дописавши роз’яснювальну

частину (∀ х∈Х), одержимо символічний запис даної теореми:

(∀ х∈Х)[A(х) ⇒ B(х) ∧ С(х)], яку можна сформулювати в

імплікативній формі так: “Якщо чотирикутник _ ромб, то його

діагоналі взаємно перпендикулярні і ділять його кути пополам”.

Умовою теореми є простий одномісний предикат А(х), а

висновок являє собою кон’юнкцію двох предикатів В(х) і С(х),

які також одномісні.

Завдання 2.

Визначити структуру теореми і сформулювати її в

імплікативній формі. Теорема: “Для того, щоб дві прямі були

паралельні, достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути при

перетині даних прямих третьою прямою були рівні”.

Розв’язування. Оскільки в теоремі йдеться про дві прямі, то

теорему утворюють два двомісні предикати, які задані на

множині М всіх можливих пар (х,у) прямих площини, а саме:

А(х,y): “прямі х і у _ паралельні”,

В(х,у): “внутрішні різностороні кути при перетині прямих х і у

третьою прямою рівні”.

Тепер потрібно з’ясувати, який з предикатів є умовою

теореми, а який висновком. Для цього треба встановити, до

якого з предикатів відноситься слово “достатньо”. Як очевидно

з формулювання теореми, слово “достатньо” відноситься до

предиката В(x,y): “внутрішні різносторонні кути при перетині

прямих х та у третьою прямою рівні”. Як відомо, (див. стор. 83)

достатню умову записують на місці умови імплікації, а необхідну

умову _ на місці висновку імплікації. Отже, умовою теореми є

двомісний предикат В(x,y), а висновком теореми _ двомісний

предикат А(x,y). А тому символічно її можна записати так:

(∀ х,у∈ M)[B(х,у) ⇒ A(х,у) ].

На основі цього її легко сформулювати в імплікативній формі:

“Якщо внутрішні різносторонні кути при перетині двох прямих

третьою прямою рівні, то прямі паралельні”.

Завдання 3.

Використовуючи закон контрапозиції, переформулюйте дану

теорему: “Якщо кожний доданок ділиться на дане число, то і

сума поділиться на дане число”. Запишіть дану і утворену

теореми в символічній формі.

Розв’язування. Закон контрапозиції виражає рівносильність

даної теореми і теореми, протилежної до оберненої:

(∀ х∈Х) [A(х) ⇒ B(х) ] ⇔ (∀ х∈Х) [

B (x)

⇒ A (x)].

Дана теорема сформульована в імплікативній формі, тому

легко визначити її структуру. Умовою теореми є речення:

“Кожний доданок ділиться на дане число”, а висновком _ “сума

ділиться на дане число”. Оскільки відношення подільності має

зміст на множині натуральних чисел, тому областю

визначення є множина N. Помінявши місцями умову і

висновок даної теореми і виконавши заперечення умови і

висновку, одержимо теорему, протилежну до оберненої:

“якщо сума не ділиться на дане число, то і кожен доданок не

ділиться на дане число”. Легко переконатись, що дана

теорема істинна, а отже, за законом контрапозиції істинна і

теорема, протилежна до оберненої.

Тепер запишемо теорему в символічній формі. Обмежимось

випадком, коли розглядається сума двох доданків х і у, які є

натуральними числами, а дане число, на яке діляться доданки,

позначимо через а. Речення: “Кожний доданок ділиться на дане

число” являє собою кон’юнкцію двох одномісних предикатів:

А(х): “число х ділиться на дане число а ” і

В(у): “число у ділиться на дане число а ”.

Це означає, що умовою даної теореми є предикат

А(х) ∧ В(у).

Висновком даної теореми є речення “сума ділиться на дане

число”, яке являє собою двомісний предикат

С(х,у): “Сума чисел х і у ділиться на дане число а ”. Отже, дану

теорему можна записати символічно так:

(∀ х,у∈ N)[ A(х) ∧ B(у) ⇒ С(х,у) ].

Запишемо теорему, протилежну до оберненої:

(∀ х,у∈ N)[

C (x, y)⇒ A (x)∧ B (y)

]

Застосувавши закон де Моргана (заперечення кон’юнкції

дорівнює диз’юнкції заперечень), останню теорему можна

переписати в такому вигляді:

(∀ х,у∈ N)[

x)∨ ].

і сформулювати так: “Якщо сума двох чисел не ділиться на

дане число, то хоч би один з доданків не ділиться на дане число”.

Умовою цієї теореми є двомісний предикат, а висновок має

диз’юнктивну структуру, тобто являє собою диз’юнкцію двох

одномісних предикатів.

Якщо б розглядати суму не двох, а n доданків, то виявлення

структури даної теореми і теореми, протилежної до оберненої,

не викликає труднощів, оскільки воно ведеться аналогічними

міркуваннями, як і у випадку двох доданків. Умова даної теореми

(“кожний доданок ділиться на дане число”) являє собою

кон’юнкцію n одномісних предикатів А1(х), А2(у),..., Аn(t); де

А1(х): “перший доданок х ділиться на дане число а ”; А2(у):

“другий доданок у ділиться на дане число а ”; і т. д., Аn(t): “n_й

доданок t ділиться на дане число а ”.

Висновком даної теореми буде n_місний предикат

В(х,у,..., t): “сума чисел х,у,.......,t ділиться на дане число а ”.

Отже, в цьому випадку теорема запишеться символічно так:

(∀ х,у,...,t∈ N)[A1(х) ∧A2(х)∧... ∧An(t) ⇒ B(х,у,......,t) ].

Теорема, протилежна до оберненої відповідно запишеться

так:

(∀ х,у,..,t∈ N)[

B (x, y,..., t)⇒ A 1(x)∨ A 2(y)∨...∨ An (t)

].

В імплікативній формі останню теорему можна

сформулювати так: “Якщо сума n чисел х,у,....,t не ділиться на

дане число, то хоча б один з доданків не ділиться на дане число”.

Висновок останньої теореми являє собою диз’юнкцію n

предикатів, які є запереченнми кожного з предикатів, даних в

умові даної теореми, оскільки заперечення кон’юнкції дорівнює

диз’юнкції заперечень (згідно закону де Моргана).

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1.

Визначте структуру поданих теорем і запишіть ці теореми

символічно:

1) У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює

сумі квадратів катетів.

2) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

3) У рівнобедреному трикутнику висота, опущена на основу,

є одночасно бісектрисою і медіаною.

4) Діагональ паралелограма ділить його на два рівні

трикутники.

5) Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться

пополам.

6) Діагоналі прямокутника рівні.

7) Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і

стягувані нею дуги пополам.

8) Рівні хорди стягують рівні дуги даного кола.

9) Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні і

паралельні, то цей чотирикутник паралелограм.

10) У правильний многокутник можна вписати коло.

11) Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої,

паралельні між собою.

12) Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох

паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої

прямої.

13) Кожен паралелограм має центр симетрії.

14) Кожен прямокутник має дві осі симетрії.

15) Похилі, які проведені з однієї точки до однієї й тієї самої

прямої і мають рівні проекції, рівні між собою.

16) Вписані кути, що спираються на рівні дуги, рівні.

17) Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

18) Прямокутний трикутник _ нерівносторонній

(неправильний).

19) Тупокутний трикутник _ нерівносторонній

(неправильний).

20) Бічні сторони прямокутної трапеції не рівні.

Завдання 2.

Подані у завданні 1) теореми сформулюйте в імплікативній

формі. Утворіть до кожної з них обернену та протилежну

теореми і теорему, обернену до протилежної. Визначте

значення логічної вартості кожної з одержаних теорем.

Завдання 3.

Кожну з даних у завданні 1) теорем сформулюйте з

допомогою слів “необхідно” чи “достатньо”. Відповідь

обгрунтуйте.

Завдання 4.

Визначте значення логічної вартості даних теорем і запишіть

їх символічно. Використовуючи закон контрапозиції,

переформулюйте ці теореми і визначте їх логічну вартість:

1) Якщо кожен з доданків ділиться на 11, то і сума ділиться на 11.

2) Якщо хоча б один з доданків не ділиться на 5, то і сума не

ділиться на 5.

3) Якщо хоча б один з доданків ділиться на 5, то і сума ділиться

на 5.

4) Якщо сума ділиться на 11, то і кожний доданок ділиться на 11.

5) Якщо сума не ділиться на 5, то і жоден з доданків не ділиться

на 5.

6) Якщо сума не ділиться на 5, то хоча б один з доданків не

ділиться на 5.

7) Якщо хоча б один з множників ділиться на дане число, то і

добуток ділиться на це число.

8) Якщо кожен з множників ділиться на дане число, то і

добуток ділиться на це число.

9) Якщо хоча б один із множників не ділиться на дане число,

то і добуток не ділиться на це число.

10) Якщо кожен з множників не ділиться на дане число, то й

добуток не ділиться на це число.

11) Якщо зменшуване і від’ємник діляться на дане число, то

й різниця ділиться на це число.

12) Сума двох парних чисел є число парне.

13) Якщо число кратне 3 і 4, то воно кратне 2.

14) Для того, щоб різниця ділилася на число, достатньо, щоб

зменшуване і від’ємник ділилися на це число.

15) Якщо запис числа закінчується цифрою 5, то число

ділиться на 5.

16) Якщо запис числа закінчується цифрами 0 і 5, то число

ділиться на 5.

17) Якщо сума цифр запису числа ділиться на 9, то число

ділиться на 9.

18) Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні, то цей чотирикутник

_ прямокутник.

19) Сума суміжних кутів дорівнює 1800.

20) Вертикальні кути рівні між собою.

21) Вписаний кут, що спирається на діаметр, _ прямий.

22) Для того, щоб дві прямі перетинались, достатньо, щоб

вони лежали в одній площині.

23) Якщо добуток двох цілих чисел ділиться на 6, то хоча б

один з множників ділиться на 6.

24) Катет, що лежить проти кута 300, дорівнює половині

гіпотенузи.

25) Сума кутів трикутника дорівнює 1800.