Обгрунтування категоричних висловлень діаграмами Ей)

лера)Венна.

Пізнання навколишнього світу здійснюється різними методами

(спостереження, досліди), які супроводжуються логічними

міркуваннями. Отже, вміння правильно будувати міркування, щоб

отримати правильні висновки, є одним з важливих логічних умінь,

необхідних для будь_якої галузі знань та людської діяльності. Під

міркуванням розуміють логічну операцію (мислительний процес),

з допомогою якої з одного чи кількох висловлень (тверджень), які

називаються умовами, дістають нове висловлення, яке називається

висновком (наслідком). Міркування складається з речень, які є

висловленнями і в традиційній термінології називаються класичними

категоричними висловленнями. Вони формулюються у вигляді “а є

в” або у вигляді “а виконує функцію f”, тобто f(а).

Наприклад: “Андрій є студентом” або “Павло старанно вчить

математику”. Серед висловлень структури “а є в” слід розрізняти

два види: одиничні (атомічні) і загальні (субсумпційні)

висловлення. В одиничних висловленнях стверджується, що

певний об’єкт, визначений індивідуальною назвою, належить (чи

не належить) до певного класу А, що коротко записується: х є А.

Підметом атомічного висловлення є деяка індивідуальна назва, а

присудком _ певна генеральна назва. Наприклад, висловлення

“Андрій є (не є) студентом” означає, що “Андрій належить (або не

належить) до класу (множини) студентів”.

В загальних висловленнях стверджується, що певний клас

А цілком чи частково міститься в деякому іншому класі В.

Наприклад, висловлення “квадрат є прямокутником” і “деякі

прямокутники є ромбами” _ субсумпційні. В цих висловленнях

як підметом, так і присудком є генеральні назви. Перше

висловлення означає, що клас квадратів включається в клас

прямокутників.

Слово “є” в цьому випадку означає те саме, що й слово

“включається” і “належить”. Друге висловлення означає, що

існують прямокутники, які є ромбами. Тут слово “є” разом з

квантором “деякі” означає те саме, що й “існує”. Структурою

субсумпційних висловлень займалась середньовічна логіка, в

якій всі прості висловлення зводились до субсумпційних.

Складові назви класів у субсумпційних висловленнях позначають

літерами S (subjectum _ підмет) та P (рraedicatum _ присудок),

тобто S i P означають генеральні назви або непорожні класи.

Субсумпційні висловлення (судження) називають ще

категоричними. Залежно від “кількості” всі категоричні

висловлення поділяються на загальні і часткові.

Загальні висловлення характеризують весь клас S. (”Кожне

S є...”; “Жодне S не є...”).

Часткові висловлення характеризують принаймні деякі

елементи з класу S. (”Деякі S є...”; “Деякі S не є...”).

Залежно від “якості” всі категорині висловлення поділя_

ються на стверджувальні і заперечувальні. У стверджу)

вальних висловленнях вказується, що названий у підметі клас

S включається повністю або частково в клас P. Наприклад,

висловлення “кожний ромб є паралелограмом” означає, що

клас ромбів включається в клас паралелограмів.

У заперечувальних висловленнях вказується, що назва_

ний в підметі клас S не включається в клас Р. Наприклад, вис_

ловлення “жодний паралелограм не є трапецією” означає,

що клас паралелограмів не включається в клас трапецій, точ_

ніше, ці класи не мають спільних елементів. Але висловлення

“деякі прямокутники не є ромбами” означає, що в класі пря_

мокутників (S) існують такі об’єкти, які є ромбами (P), а

також такі прямокутники, які не є ромбами. Отже, класи S i P

_ прямокутників та ромбів перебувають у відношенні частко_

вого включення або перерізу, тобто мають деякі спільні еле_

менти.

Об’єднуючи охарактеризовані вище два поділи категорич_

них висловлень, в традиційній логіці розрізняють чотири види

висловлень, які називають класичними категоричними вислов_

леннями, або висловленнями логічного квадрата. Вони мають

структуру висловлювальних форм, утворених з назв класів S i P,

а також із виразів, які характеризують вид висловлення за

кількістю та якістю і символічно позначаються так: А _ загально_

стверджувальні; Е _ загальнозаперечувальні; І _ частковоствер_

джувальні; О _ частковозаперечувальні.

Загальностверджувальні висловлення мають структуру:

“ Всі S є P ” або “ Кожний S є P ”. Наприклад: “Кожний прямокут_

ник є паралелограмом”.

Загальнозаперечувальні висловлення мають структуру:

“ Всі S не є P ” або “ Жодний S не є P ”. Наприклад: “Жодний

паралелограм не є трапецією”.

Частковостверджувальні висловлення _____мають структуру:

“ Деякі S є P “. Наприклад: “Деякі прямокутники є ромбами”.

Частковозаперечувальні висловлення мають структуру:

“ Деякі S не є P “. Наприклад: “Деякі прямокутники не є квадра_

тами”.

Запишемо ці висловлення в символічній формі. Оскільки

загальностверджувальне висловлення “Кожний S є P” слід

розуміти так, що якщо будь _ який об’єкт х належить до класу S,

то він належить і до класу P, а тому символічно це можна запи_

сати так: (∀ х є М) [ х є S ⇒ х є Р], де через М позначено

множину всіх існуючих об’єктів певної природи, відносно якої

класи S i P є підмножинами. Це означає, що між класами S i P

існує відношення строгого включення: клас S є

власною підмножиною класу P (S ⊂ P), бо всі

елементи класу S є елементами класу P. В цьо_

му випадку відношення між класами S i P мож_

на зобразити діаграмою Ейлера_Венна так:

На діаграмі заштриховано множину тих об’єктів, які опису_

ються загально_стверджувальним висловленням: “Кожний S є

P”. Цій діаграмі відповідає висловлення: “Кожний прямокутник

є паралелограмом”, де S _ клас прямокутників, P _ клас парале_

лограмів.

Позначимо “х є S” _ одномісний предикат через S(x), а “х є P”

через P(x), внаслідок чого дане висловлення можна записати

так: (

∀

х ∈ M) [ S(x) ⇒ P(x) ].

Загальнозаперечувальне висловлення “ Жодний S не є

P ” з точки зору логіки слід розуміти так, що якщо довільний

об’єкт х належить до класу S, то він не належить до класу P,

тобто всі об’єкти з класу S не належать до класу P. Це озна_

чає, що класи S i P не мають спільних елементів. Символічно

його можна записати так:

(∀ х ∈ M) [ х ∈ S ⇒ х

∈

P ].

Співвідношення між класами S i P можна

зобразити такою діаграмою:

На ній заштриховані елементи, описані

у висловленні “жодний S не є P”, яке рівносильне тому, що всі

елементи класу S не є елементами класу P. Цій діаграмі відпов_

ідає висловлення: “Жодний паралелограм не є трапецією”, де S

_ клас паралелограмів, P _ клас трапецій.

Загальнозаперечувальне висловлення можна записати в

інших позначеннях: “х є S” _ S(x), “х ∈ P”_ P (x), а тому

(∀ х ∈ M) [ S(x) ⇒

P (x)

].

Частковостверджувальні висловлення “ деякі S є P ” слід

розуміти так, що існують об’єкти х, які належать і до класу S і до

класу P. Символічно його записують так:

(∃ х ∈ M) [ х ∈ S ∧ x ∈ Р ] або (∃ х ∈ M) [ S(x) ∧ P(x) ].

S P

P

S

Співвідношення _____між класами S i P ілюст_

рується діаграмою:

Наприклад, істинне висловлення: “Деякі

непарні числа є простими”. Воно має струк_

туру “Деякі S є P” і означає, що серед непарних чисел є прості,

але й є непрості (складені), так само, як серед простих чисел є

непарні, але й є парні (число 2). А отже, класи S i P перебувають

у відношенні перерізу або часткового включення. Співвідношен_

ня між ними зображається діаграмою:

де S _ клас непарних чисел,

P _ клас простих чисел,

S∩P _ це клас чисел, які одночасно непарні і прості.

Інше істинне висловлення “Деякі чотирикутники є паралелог_

рамами” також має структуру “Деякі S є P”, але співвідношення

між класами S i P таке, що клас S містить в собі клас P, бо серед

чотирикутників є паралелограми, але є і не паралелограми. Тому

клас P _ паралелограмів є власною підмножиною класу S _ чоти_

рикутників (P ⊂ S), оскільки всі паралелограми є

чотирикутниками, але не всі чотирикутники є па_

ралелограмами. Діаграма, що ілюструє зв’язки

між класами S i P, має вигляд:

Частковозаперечувальне висловлення “ Деякі S не є P ” озна_

чає, що існують об’єкти з класу S, які не належать класу P. Символічно

це висловлення записується так:

(∃x ∈ M) [ x ∈ S ∧ x

∈

P ] або (∃ x ∈ M) [ S(x) ∧ P (x) ].

Наприклад, частковозаперечувальне істинне висловлення

“Деякі чотирикутники не є паралелограмами” означає, що се_

ред чотирикутників є паралелограми, але й є

не паралелограми. Оскільки клас S чотирикут_

ників включає в себе клас Р _ паралелограмів і,

крім цього, містить такі чотирикутники, які не є

паралелограмами, то співвідношення між кла_

сами S і P зображається діаграмою:

На діаграмі заштрихована множина тих чотирикутників,

які не є паралелограмами, тобто об’єкти, описані у вислов_

ленні.

Розглянемо інше істинне висловлення “Деякі ромби не є

прямокутниками”. Воно має структуру “Деякі S не є P” і озна_

S P

S

P

S

P

чає, з одного боку, що серед ромбів існують такі, які не є

прямокутниками. Як відомо, що серед ромбів є й прямокут_

ники. Але, з другого боку, не всі прямокутники є ромбами,

тобто існують прямокутники, які не є ромбами. Це означає,

що класи S і P перебувають у відношенні част_

кового включення (перерізу), і діаграма має

вигляд:

де S_ клас ромбів

Р_ клас прямокутників.

На діаграмі заштриховано ту область, яка відповідає мно_

жині ромбів, котрі не є прямокутниками. Із сказаного можна

зробити висновок, що загальні висловлення записуються з