Корни многочлена. Теорема Безу

Если - некоторый многочлен, а некоторое число, то число полученное заменой неизвестного числом и последующим выполнением всех указанных операций, называется значением многочлена при .

Если то есть многочлен обращается в нуль при подстановке в него числа , то называется корнем многочлена .

Если будем делить многочлен на произвольный многочлен первой степени, то остаток будет либо некоторым многочленом нулевой степени, либо нулем, то есть во всяком случае некоторым числом r.

Теорема Безу. Элемент , принадлежащий кольцу является корнем

многочлена тогда и только тогда, когда делится на

.

Для деления многочлена на линейный двучлен существует метод, называемый схемой Горнера.

Пусть

и пусть

где

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем Таким образом, коэффициенты частного и остаток можно последовательно получать при помощи однотипных вычислений, по формулам, называемым схемой Горнера.

Теорема.Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Тогда и .

Из данной теоремы вытекает, что решение вопроса о наличии рациональных корней многочлена сводится к следующим действиям:

1. перебору всех делителей свободного члена и всех делителей старшего члена;

2. составлению из них несократимых дробей;

3. проверке посредством подстановки дроби в многочлен. На этом этапе можно воспользоваться методом Горнера. Если все испытания приведут к отрицательному результату, то это значит, что у многочлена нет рациональных корней.

Теорема (о границе вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами). Пусть

,

, первый отрицательный коэффициент в последовательности коэффициентов. - наибольший модуль отрицательных коэффициентов, тогда все корни многочлена меньше числа (в случае меньше ).

Упорядоченная последовательность не равных нулю многочленов называется последовательностью Штурма (рядом Штурма) для многочлена на , если выполняются следующие условия:

1) ;

2) соседние многочлены ряда не обращаются в нуль при одном и том же значении ;

3) если , то для любого ;

4) произведение меняет знак с минуса на плюс, когда , возрастая, проходит через корень многочлена .

Последовательность Штурма позволяет определять количество действительных корней многочлена на . Обозначим - количество перемен знака в последовательности чисел: .

Теорема (Штурма). Пусть и , тогда количество вещественных корней многочлена на интервале равно разности .

Элементы теории чисел

Сравнения. Свойства сравнений

Следует сразу отметить, что в дальнейшем речь пойдет о кольце целых чисел.

Говорят, что число делит число (обозначается ) или делится на , если .

Два целых числа и называют сравнимыми по модулю , где , если делит . Обозначают .

Отношение сравнимости по модулю обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то есть является отношением эквивалентности. Следовательно, отношение сравнимости индуцирует разбиение множества целых чисел на классы эквивалентности, которые называются классами вычетов.

Опишем простейшие свойства сравнений. Многие свойства сравнений аналогичны свойствам равенств.

Свойство 1. Сравнения можно почленно складывать и вычитать, то есть если

Свойство 2. Сравнения можно почленно перемножить, то есть если , , то

Свойство 3. Обе части сравнения можно разделить на их общий множитель, если он взаимно простой с модулем.

Если и число взаимно простое с , то .

Свойство 4. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.

Если , то

Следствие 5. Пусть есть любой делитель числа . Если , то

Теорема Вильсона. Если – простое число, то .

Функция Эйлера

Количество положительных целых чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, обозначается через ; числовая функция , определенная на множестве всех целых положительных чисел, называется функцией Эйлера. Легко видеть, что функция равна числу целых неотрицательных чисел, меньших n и взаимно простых с n.

Теорема.

1) Если - простое число, то ;

2) Если - простое число, то ;

3) Если - каноническое разложение натурального числа ; то

В теории сравнений важную роль играют теоремы Эйлера и Ферма.

Теорема Эйлера. Если целое число а взаимно просто с m, то

Теорема Ферма. Если целое число а не делится на простое число , то

Сравнения первой степени

Сравнением первой степени называют сравнение вида , где , - переменная.

Решить сравнение значит найти все целочисленные значения , при подстановке которых получается истинное числовое сравнение.

Сформулируем условия разрешимости сравнения первой степени.

Теорема. Если Н.О.Д. то сравнение имеет одно и только одно решение по модулю .

Теорема. Пусть Н.О.Д. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда Если , то сравнение имеет своими решениями точно классов вычетов по модулю , которые составляют один класс вычетов по модулю

Теорема (китайская теорема об остатках). Пусть - попарно взаимно простые числа, и пусть - целые числа. Тогда существует единственное по модулю число такое, что

Сравнение высших степеней

Перейдем к рассмотрению вопроса о числе решений сравнения й степени.

Сравнение вида называют сравнением высшего порядка.

Теорема. Сравнение степени по простому модулю имеет не более решений.

Теорема. Пусть , Н.О.Д. , тогда сравнение равносильно системе сравнений

Цепные дроби

Пусть - рациональное число: Число можно представить в виде дроби особого вида. Это представление тесно связано с алгоритмом Евклида. Который заключается в следующем: так как ( - «частное», - «остаток»), для которых , где . То в свою очередь для чисел и найдутся и такие, что , где . Далее и такие, что , где и так далее до тех пор пока остаток не станет равен нулю. Тогда ; .

Применим алгоритм Евклида к числам и ; последовательно получим:

(3.1)