Бинарная операция. Формы записи. Группа

Элементы теории групп

Бинарная операция. Формы записи. Группа

Важнейшим типом алгебраических систем с одной операцией являются группы. Это понятие обладает чрезвычайно широкой областью применений и служит предметом большой самостоятельной науки – теории групп.

Введем основные понятия, использующиеся в теории групп.

Пусть Х - непустое множество.

Бинарной операцией, определенной над Х, называется отображение

Как правило, для обозначения бинарной операции вместо пишут , при этом используют какой-нибудь специальный символ: .

Непустое множество Х с бинарной операцией *, введенной на этом множестве, называется алгебраической структурой

Бинарная операция на множестве Х называется ассоциативной, если для всех ; она называется коммутативной, если . Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре .

Элемент называется единичным (или нейтральным) относительно рассматриваемой бинарной операции *, если для всех .

Элемент называется обратным к элементу , если .

Определение. Алгебраическая структура называется группой, если

1) Бинарная операция ассоциативна;

2) В ней существует нейтральный (единичный) элемент ;

3) Для каждого элемента существует обратный .

Подмножество называется подгруппой в , если ; и .

Порядком элемента группы называется наименьшее натуральное число такое, что , где - единичный элемент группы.

Если такого числа не существует, то говорят, что порядок элемента равен бесконечности. Обозначают (или ).

Гомоморфизм и изоморфизм групп

Пусть и две группы. Отображение называется гомоморфизмом, если .

Ядром гомоморфизма называется множество , где - единица группы .

Образом гомоморфизма называется множество .

Определим, какая запись называется мультипликативной, а какая – аддитивной.

При мультипликативной записи бинарную операцию называют умножением и пишут или вместо , унитарную операцию называют операцией перехода к обратному элементу и обозначают a , нейтральный элемент называют единицей группы и обозначают или 1.

При аддитивной записи бинарную операцию называют сложением чисел, унарную операцию называют операцией перехода к противоположному элементу, нейтральный элемент называют нулем группы и обозначают 0.

Следует помнить, что противопоставление “аддитивные группы – мультипликативные группы” не относятся к противопоставлению самих понятий, а лишь к условным обозначениям. При трактовке абелевых групп в основном пользуются аддитивной записью, при изложении положений, относящихся к произвольным группам, - общепринятой мультипликативной системой обозначения.

Перечислим свойства гомоморфизма групп:

1)

2) ;

3)

Если гомоморфизм групп является взаимнооднозначным, то он называется изоморфизмом, а группы изоморфными.

Фактор-группа

Множество , где - подгруппа группы , называется левым классом смежности элемента по подгруппе . Аналогично определяется правый класс смежности . Если подгруппа группы такова, что для всякого элемента его левый класс смежности совпадает с правым (т.е. ), то она называется нормальной подгруппой группы .

Стоит заметить, что если - гомоморфизм групп и , то нормальная подгруппа , а подгруппа .

Множество смежных классов элементов группы по нормальной подгруппе обозначается ().

На множестве введем бинарную операцию следующим образом: . Тогда является группой, называемой фактор-группой группы по подгруппе .

Теорема(об изоморфизме). Гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма ().

 

Идеалы колец

Подгруппа аддитивной группы (К,+) кольца К называется левым (правым) идеалом, если и . Если идеал является одновременно левым и правым, то он называется двусторонним или просто идеалом. Например, идеалом является множество , целых чисел делящихся на , в кольце целых чисел .

Пусть К – кольцо, - двусторонний идеал. Для любого элемента множество называется его классом смежности. Множество классов смежности элементов кольца К относительно идеала обозначают . является кольцом, называемым фактор-кольцо. Если на нем рассматривать две бинарные операции, определенные следующим образом:

1)

2) .

Фактор-кольцо обозначают . Оно состоит из различных элементов и является полем тогда и только тогда, когда простое число.

Элементы теории чисел

Функция Эйлера

Количество положительных целых чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, обозначается через ; числовая функция , определенная на множестве всех целых положительных чисел, называется функцией Эйлера. Легко видеть, что функция равна числу целых неотрицательных чисел, меньших n и взаимно простых с n.

Теорема.

1) Если - простое число, то ;

2) Если - простое число, то ;

3) Если - каноническое разложение натурального числа ; то

В теории сравнений важную роль играют теоремы Эйлера и Ферма.

Теорема Эйлера. Если целое число а взаимно просто с m, то

Теорема Ферма. Если целое число а не делится на простое число , то

Сравнения первой степени

Сравнением первой степени называют сравнение вида , где , - переменная.

Решить сравнение значит найти все целочисленные значения , при подстановке которых получается истинное числовое сравнение.

Сформулируем условия разрешимости сравнения первой степени.

Теорема. Если Н.О.Д. то сравнение имеет одно и только одно решение по модулю .

Теорема. Пусть Н.О.Д. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда Если , то сравнение имеет своими решениями точно классов вычетов по модулю , которые составляют один класс вычетов по модулю

Теорема (китайская теорема об остатках). Пусть - попарно взаимно простые числа, и пусть - целые числа. Тогда существует единственное по модулю число такое, что

Сравнение высших степеней

Перейдем к рассмотрению вопроса о числе решений сравнения й степени.

Сравнение вида называют сравнением высшего порядка.

Теорема. Сравнение степени по простому модулю имеет не более решений.

Теорема. Пусть , Н.О.Д. , тогда сравнение равносильно системе сравнений

Цепные дроби

Пусть - рациональное число: Число можно представить в виде дроби особого вида. Это представление тесно связано с алгоритмом Евклида. Который заключается в следующем: так как ( - «частное», - «остаток»), для которых , где . То в свою очередь для чисел и найдутся и такие, что , где . Далее и такие, что , где и так далее до тех пор пока остаток не станет равен нулю. Тогда ; .

Применим алгоритм Евклида к числам и ; последовательно получим:

(3.1)

Примеры решения задач

Задача №1

Выяснить, образует ли группу множество

всех линейных отображений числовой прямой на себя, относительно операции композиции отображения.

Решение:

Для того, чтобы множество являлось группой, необходимо и достаточно, чтобы на множестве его элементов было определено бинарная операция «», обладающая следующими свойствами:

Проверим выполнимость вышеуказанных аксиом для множества относительно операции композиции отображений. Итак, пусть

,

тогда

так как

,если .

Таким образом, нулевая аксиома выполняется.

Далее, пусть тогда:

.

Отображения и равны.

Рассмотрим элемент . Тогда, если , то , аналогично . Следовательно, в множестве относительно операции композиции отображений существует единичный элемент .

Проверим выполнимость четвёртой аксиомы. Для этого рассмотрим , обозначим , тогда

.

Если , то . То есть . Так как , то если .

Таким образом, если и при этом , то для существует - обратный элемент.

Если же , то есть , то для такого элемента обратный элемент не существует.

Итак, не для всякого элемента множество существует обратный элемент. Следовательно, не является группой.

Заметим, что если обозначить множество элементов с , то образует группу относительно операции композиции отображений.

Задача №2

Доказать, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных рациональных матриц порядка по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе рациональных чисел, отличных от нуля.

Решение:

Для того, чтобы доказать требуемое, воспользуемся теоремой об изоморфизме, (см. п. 1.3).

Рассмотрим отображение , определённое следующим образом: .

Так как , следовательно гомоморфизм групп, при этом его образ , а ядро . На основании теоремы следует, что , то есть , что и требовалось доказать.

Задача №3

Найти порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

Решение:

Для того, чтобы найти порядок комплексного числа (см. п. 1.1), нужно найти . Итак, . Так как 1 является единичным элементом в группе , то .

Ответ: 4

Задача №4

Пусть . Решить уравнение . Найти порядок перестановки . Определить чётность перестановки .

Решение:

Для того, чтобы решить уравнение , необходимо умножить обе его части слева на перестановку обратную к . Тогда . Если перестановка действует следующим образом:

,

то обратная перестановка будет действовать в противоположную сторону:

или ,

поэтому

.

Для того чтобы найти порядок перестановки можно разложить его в произведение независимых (непересекающихся) циклов. Тогда наименьшее общее кратное длин этих циклов и будет являться порядком перестановки. В данном случае . Следовательно, .

Чётность перестановки можно определить по количеству инверсий в ней (см. п. 1.4.). Последнее определяется как количество таких пар элементов второй строки, в которых первым стоит число большее, нежели второе. Рассмотрим перестановку

.

Начнём с элемента 2, который стоит первым во второй строке. Он образует следующие пары: (24), (25), (26), (21) и (23), из которых лишь пара (21) образует инверсию. Далее элемент 4 и его пары: (45), (46), (41), (43). Инверсии образуют две пары (41) и (43). Элемент 5 образует инверсии с элементами 1 и 3. То же самое можно сказать и про элемент 6. Предпоследний элемент 1 образует лишь одну пару (13), но она инверсию не образует. Последний элемент 3 пар не образует (точнее его пары уже все рассматривались). Итак, количество инверсий перестановки равно . Число 7 является нечётным, следовательно, и перестановка нечётная.

Задача №5

Выяснить, является ли множество кольцом (полем) относительно операций и .

Решение:

Для того чтобы множество являлось кольцом относительно операций сложения и умножения необходимо и достаточно выполнения следующих аксиом (см. 2.1.):

Кроме этого, если

, то кольцо называется коммутативным если

, то кольцо называется кольцом с единичным элементом.

Если же в коммутативном кольце с единичным элементом , то называется полем.

Итак, нужно проверить выполняются ли все вышеуказанные аксиомы. Пусть тогда

,

так как .

Аналогично . Далее рассмотрим

Для того чтобы убедиться, что верна и вторая часть рассматриваемой аксиомы, отдельно раскроем значения выражений и .

Итак

Далее в качестве нулевого элемента рассмотрим . Пусть , то и наоборот . Если , то обратным к нему элементом является элемент, который можно обозначить , так как

Аксиома (4) следует из свойств коммутативности для действительных чисел:

.

Теперь свойство дистрибутивности:

Аналогично проверяется справедливость 2-го свойства дистрибутивности .

Из всего вышесказанного следует, что множество A является коммутативным кольцом с единичным элементом , так как

Далее для элемента найдём обратный элемент . Его «координаты» обозначим . Следовательно, должно выполняться равенство: или , то есть

.

Тогда

.

Откуда

,

если .

Итак, такой, что . Следовательно, A является полем.

Задача №6

Является ли идеалом множество в кольце вещественных матриц ?

Решение:

Проверим, образует ли множество идеал в кольце согласно определению (см. п. 2.3). Итак:

2) так как - нулевой элемент;

3) если , при этом

.

Из свойств 0) - 4) следует, что J является коммутативной группой по сложению. Заметим при этом, что аксиомы 1) – 4) можно было не проверять, так как они справедливы для всех элементов любого кольца в том числе и для тех его элементов, которые входят в J. Достаточно было бы проверить, что нулевой элемент кольца и противоположный элемент .

Теперь рассмотрим произведение на .

Итак

,

Следовательно, J является лишь правым идеалом кольца .

Задача №7

Разложить многочлен по степеням и найти значения его производных в точке .

 

 

Решение:

Согласно свойствам делимости в кольце многочленов с комплексными коэффициентами следует, что

такой, что . Коэффициенты многочлена удобнее находить по схеме Горнера (см. 2.4.), при этом все вычисления, как правило, оформляют в виде следующей таблицы – схемы:

			…
с			…		f (c)

В данном случае

			-4		-8

или

Далее разделим многочлен на так же по схеме Горнера

то есть . Следовательно,

.

Тогда искомое разложение можно получить путём ещё 4-х кратного применения схемы Горнера. Все это можно оформить в виде таблицы – схемы.

 

 

Откуда

.

С другой стороны многочлен , как непрерывно-дифференцируемую функцию, в окрестности точки можно разложить в ряд Тейлора следующим образом:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях скобки, получим, что

Задача №8

Разложить на неприводимые множители многочлен над кольцами Z [ x ] целочисленных многочленов, R [ x ] действительных многочленов и C [ x ] многочленов с комплексными коэффициентами.

Решение:

Поиск разложения следует начать с поиска корней данного многочлена. На основании теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами целочисленные корни следует искать среди делителей свободного коэффициента (см. 2.4.). В данном случае – среди делителей числа 6, то есть в множестве . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел не является корнем многочлена , следовательно целочисленных корней он не имеет. Из указанной же теоремы следует, что рациональные корни многочлена нужно искать в виде несократимой дроби , где p - делитель свободного коэффициента, а q - делитель старшего коэффициента. Для многочлена , p - делитель числа 6, а q - делитель числа 2. Тогда . И вновь путём проверки выясняется, что лишь одно из этих чисел, а именно , является корнем многочлена. На основании теоремы Безу, если число с является корнем многочлена , то делится на , т.е. .

Деление многочлена на можно произвести по схеме Горнера (см. пример 7):

		-1	-7		-4	-6
		-2	-6		-12

Откуда

.

Где многочлен не имеет рациональных корней. Разложение найдём методом неопределённых коэффициентов, представив его в виде произведения двух многочленов второй степени, а именно

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

.

Получается система

Одним из решений которой является следующий набор переменных:

A=-2; B=2; C=1; D=-3.

Тогда , следовательно

.

Так как многочлены не имеют целых корней, тогда искомое разложение над Z [ x ] найдено. Далее найдём корни последних многочленов второй степени:

Откуда разложение над R [ x ] выглядит следующим образом:

,

а над C [ x ]

.

Задача №9

С помощью ряда Штурма изолировать корни многочлена

Решение:

Сначала найдём границы корней данного многочлена (см. 2.4.). На основании теоремы о границе вещественных корней многочлена , где , следует, что его корни меньше числа , где А - максимум модулей отрицательных его коэффициентов, а т - индекс первого отрицательного коэффициента в последовательности . Для данного многочлена , следовательно, его корни не превышают числа . Нижняя граница корней совпадает с верхней границей для корней многочлена , взятого с противоположным знаком. В данном случае

,