Перестановка. Циклы. Четность. Свойства

Пусть - конечное множество из элементов. Поскольку природа его элементов для нас несущественна, удобно считать, что . Взаимно однозначное отображение называется перестановкой из элементов (длины ).

В развернутой и наглядной форме перестановку : , , изображают двухрядным символом

полностью указывая все образы:

.

Число различных перестановок из чисел равно произведению , обозначаемому .

Множество всех перестановок длины будем обозначать символом .

Перестановки перемножаются в соответствии с общим правилом композиции отображений: То есть под произведением перестановок будем понимать их суперпозицию.

Например, для перестановок

,

имеем

В то же время

так что

Умножение перестановок подчиняется следующим правилам.

1. Умножение ассоциативно, то есть для всех .

2. обладает единичным элементом : для всех

3. Для каждой перестановки существует обратная

Эти три свойства дают основание говорить о группе, называемой симметрической группой степени .

Разложим теперь перестановки в произведение более простых перестановок. Идею разложения поясним схематически на примере указанных выше перестановок

,

Перестановка , носит название цикла длины 4, а перестановка - произведение двух независимых (непересекающихся) циклов и длины 2.

Каждая перестановка в является произведением независимых циклов длины . Это разложение в произведение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов.

Обратим внимание на циклы длины 2.

Цикл длины 2 называется транспозицией.

Любая транспозиция имеет вид и оставляет на месте все символы, отличные от

Говорят, что элементы и образуют относительно перестановки правильную пару, если

Если то элементы образуют неправильную пару, которая также называется инверсией.

Если количество инверсий в перестановке () является числом четным (нечетным), то перестановка называется четной (нечетной).

Знаком перестановки () называется функция, определяемая следующим образом:

Утверждение. Пусть перестановка разложена в произведение независимых циклов длин Тогда .

Свойства перестановок.

1. Произведение четных перестановок – четная перестановка.

2. Произведение четной перестановки на нечетную - есть нечетная перестановка.

3. Умножение на транспозицию меняет четность перестановки.

4. Четные перестановки образуют группу.

5. Перестановка и ей обратная имеют одинаковую четность.

6. Число четных и нечетных перестановок равно

 

2. Элементы теории колец (кольцо многочленов)

Понятие кольца и поля. Свойства

Кольцо – непустое множество с определенными на нем двумя бинарными операциями «+» и «», условно называющимися сложением и умножением, удовлетворяющее следующим свойствам:

1) – является коммутативной (абелевой) группой;

2) выполняется ассоциативный закон

3) справедливы следующие равенства , .

Если относительно умножения выполняется закон коммутативности, то кольцо коммутативно.

Если в существует нейтральный элемент 1 относительно умножения, то кольцо называется кольцом с единицей (1 - единичный элемент).

Элементы, у которых есть обратный элемент относительно умножения, называются единицами кольца (обратимыми элементами).

Множество единиц кольца образует группу

множество элементов кольца, рассматриваемого относительно сложения, называется аддитивной группой кольца.

Ненулевые элементы называются левым и правым соответственно делителями нуля, если . Оказывается удобным и сам нуль считать делителем нуля.

Если в кольце нет делителей нуля, отличных от самого нуля, то есть если из следует, что или , или , то говорят о кольце без делителей нуля. Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется целостным.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Область целостности – коммутативное кольцо с единицей, в которых нет делителей нуля.