Ортогональность собственных функций оператора ШЛ.

Пусть и – собственные функции задачи

Штурма–Лиувилля, соответствующие разным собственным значениям

, соответственно:

Тогда и ортогональны в смысле скалярного произведения

док: Напомним, что все линейно независимые собственные функции задачи

Штурма–Лиувилля могут быть выражены через действительнозначные

собственные функции, и мы для удобства ими и ограничиваемся.

Пусть

= = =[ в силу симметричности L]= = =

Отсюда тогда

 

Простота собственных значений оператора ШЛ

Пусть и – собственные функции задачи

Штурма–Лиувилля, соответствующие одному и тому же значению , тогда и линейно зависимы на

Док: Лемма билета 2 утвержает – функции класса т.е. удовлетворяющих классическим краевым условиям на концах , справедливы равенства:

и , где

Как известно из общей теории линейных ОДУ n-го порядка, если определитель Вронского системы решений одного и того же линейного уравнения равен нулю хотя бы в одной точке, то он равен нулю на всём промежутке, на котором выполняется уравнение (в нашем случае это ), и следовательно сами функции и линейно зависимы на этом промежутке.

Замечание Доказанное свойство называется простотой собственных значений задачи Штурма–Лиувилля и означает, что кратность каждого собственного значения равна 1.

 

Теорема Стеклова. Пример: разложить функцию в ряд по собственным функциям задачи ШЛ.

Пусть и удовлетворяет КУ: ,

Пусть – ортогональная система всех линейно независимых

собственных функций задачи Штурма–Лиувилля:

Тогда справедливо представление функции f(x) в виде ряда (Фурье):

, , причем ряд сходится абсолютно и равномерно на всем

Пример: Пусть дана задача ШЛ:

Тогда, решив её как мы сделали в примере 1. 3 (с. 6), получим систему

собственных функций:

, , ,

Посчитав норму собственных функций:

,

получим представление для f(x): ,

что совпадает с формулой разложения f(x) в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.

Для получим тригонометрический ряд Фурье по синусам:

, .

 

Действительность собственных функций оператора ШЛ.

Без ограничения общности можно считать, что все собственные функции задачи Штурма–Лиувилля действительнозначны.

Док: Пусть функция y(x) = u(x) + iv(x) – комплекснозначная собственная функция задачи Штурма–Лиувилля, соответствующая собственному значению . Тогда равенство:

можно переписать в виде:

Поскольку в силу теоремы билета 3, а в силу определения основного дифференциального оператора билета 2. Данное уравнения распадается на два, для и

, .

Это означает, что функции u(x) и v(x) также являются собственными

функциями, соответствующими одному и тому же собственному значению .

По теореме билета 5 о линейной зависимости функций, соответствующие одному и тому же значению , это означает, что u(x) и v(x) линейно зависимы, т.е. такое что:

, откуда сразу , либо

, откуда сразу .

Таким образом, введение комплекснозначных собственных функций не обо-

гащает систему всех собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, а

лишь добавляет в неё линейно зависимые элементы.

 

Лемма о диссипативности

Пусть f(x) – функция класса (т.е. удовлетворяет классическим КУ).

Тогда справедливо неравенство:

док: Проверим неравенства: ,

Обоснуем первое неравенство. Рассмотрим три случая:

1) . Тогда , и неравенство превращается в равенство:

2) . Тогда , и неравенство превращается в равенство:

3) . Тогда , и неравенство превращается в равенство:

Второе доказывается аналогично

 

Неотрицательность собственных значений оператора ШЛ. Предел последовательности собственных значений

Пусть q(x) > m. Тогда для всех собственных значений задачи Штурма–Лиувилля:

справедлива оценка

Док: Рассмотрим собственную функцию y(x): . Имеем:

= = + + + + .

В силу леммы о диссипативности слагаемое правой части неотрицательно. Поэтому справедливо: с другой стороны .

откуда оценка: .

Предел последовательности собственных значений

Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля образуют бесконечное множество, его можно пронумеровать в порядке возрастания, и полученная последовательность :