Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ортогональность собственных функций оператора ШЛ.
Пусть и – собственные функции задачи Штурма–Лиувилля, соответствующие разным собственным значениям , соответственно: Тогда и ортогональны в смысле скалярного произведения док: Напомним, что все линейно независимые собственные функции задачи Штурма–Лиувилля могут быть выражены через действительнозначные собственные функции, и мы для удобства ими и ограничиваемся. Пусть = = =[ в силу симметричности L]= = = Отсюда тогда
Простота собственных значений оператора ШЛ Пусть и – собственные функции задачи Штурма–Лиувилля, соответствующие одному и тому же значению , тогда и линейно зависимы на Док: Лемма билета 2 утвержает – функции класса т.е. удовлетворяющих классическим краевым условиям на концах , справедливы равенства: и , где Как известно из общей теории линейных ОДУ n-го порядка, если определитель Вронского системы решений одного и того же линейного уравнения равен нулю хотя бы в одной точке, то он равен нулю на всём промежутке, на котором выполняется уравнение (в нашем случае это ), и следовательно сами функции и линейно зависимы на этом промежутке. Замечание Доказанное свойство называется простотой собственных значений задачи Штурма–Лиувилля и означает, что кратность каждого собственного значения равна 1.
Теорема Стеклова. Пример: разложить функцию в ряд по собственным функциям задачи ШЛ. Пусть и удовлетворяет КУ: , Пусть – ортогональная система всех линейно независимых собственных функций задачи Штурма–Лиувилля: Тогда справедливо представление функции f(x) в виде ряда (Фурье): , , причем ряд сходится абсолютно и равномерно на всем Пример: Пусть дана задача ШЛ: Тогда, решив её как мы сделали в примере 1. 3 (с. 6), получим систему собственных функций: , , , Посчитав норму собственных функций: , получим представление для f(x): , что совпадает с формулой разложения f(x) в тригонометрический ряд Фурье по косинусам. Для получим тригонометрический ряд Фурье по синусам: , .
Действительность собственных функций оператора ШЛ. Без ограничения общности можно считать, что все собственные функции задачи Штурма–Лиувилля действительнозначны. Док: Пусть функция y(x) = u(x) + iv(x) – комплекснозначная собственная функция задачи Штурма–Лиувилля, соответствующая собственному значению . Тогда равенство:
можно переписать в виде: Поскольку в силу теоремы билета 3, а в силу определения основного дифференциального оператора билета 2. Данное уравнения распадается на два, для и , . Это означает, что функции u(x) и v(x) также являются собственными функциями, соответствующими одному и тому же собственному значению . По теореме билета 5 о линейной зависимости функций, соответствующие одному и тому же значению , это означает, что u(x) и v(x) линейно зависимы, т.е. такое что: , откуда сразу , либо , откуда сразу . Таким образом, введение комплекснозначных собственных функций не обо- гащает систему всех собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, а лишь добавляет в неё линейно зависимые элементы.
Лемма о диссипативности Пусть f(x) – функция класса (т.е. удовлетворяет классическим КУ). Тогда справедливо неравенство: док: Проверим неравенства: , Обоснуем первое неравенство. Рассмотрим три случая: 1) . Тогда , и неравенство превращается в равенство: 2) . Тогда , и неравенство превращается в равенство: 3) . Тогда , и неравенство превращается в равенство: Второе доказывается аналогично
Неотрицательность собственных значений оператора ШЛ. Предел последовательности собственных значений Пусть q(x) > m. Тогда для всех собственных значений задачи Штурма–Лиувилля: справедлива оценка Док: Рассмотрим собственную функцию y(x): . Имеем: = = + + + + . В силу леммы о диссипативности слагаемое правой части неотрицательно. Поэтому справедливо: с другой стороны . откуда оценка: . Предел последовательности собственных значений Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля образуют бесконечное множество, его можно пронумеровать в порядке возрастания, и полученная последовательность :
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; просмотров: 359; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.250.169 (0.014 с.) |