Действительность собственных значений оператора ШЛ

Действительность собственных значений оператора ШЛ

Все собственные значения задачи Штурма–Лиувилля действительны.

Док: Пусть – собственное значение задачи Штурма–Лиувилля и, соответственно, оператора Штурма–Лиувилля L[y]. Пусть y(x) = u(x)+iv(x) – соответствующая собственная функция. Тогда , что равносильно системе

=> равны между собой

, что означает, что , а значит

 

Ортогональность собственных функций оператора ШЛ.

Пусть и – собственные функции задачи

Штурма–Лиувилля, соответствующие разным собственным значениям

, соответственно:

Тогда и ортогональны в смысле скалярного произведения

док: Напомним, что все линейно независимые собственные функции задачи

Штурма–Лиувилля могут быть выражены через действительнозначные

собственные функции, и мы для удобства ими и ограничиваемся.

Пусть

= = =[ в силу симметричности L]= = =

Отсюда тогда

 

Простота собственных значений оператора ШЛ

Пусть и – собственные функции задачи

Штурма–Лиувилля, соответствующие одному и тому же значению , тогда и линейно зависимы на

Док: Лемма билета 2 утвержает – функции класса т.е. удовлетворяющих классическим краевым условиям на концах , справедливы равенства:

и , где

Как известно из общей теории линейных ОДУ n-го порядка, если определитель Вронского системы решений одного и того же линейного уравнения равен нулю хотя бы в одной точке, то он равен нулю на всём промежутке, на котором выполняется уравнение (в нашем случае это ), и следовательно сами функции и линейно зависимы на этом промежутке.

Замечание Доказанное свойство называется простотой собственных значений задачи Штурма–Лиувилля и означает, что кратность каждого собственного значения равна 1.

 

Теорема Стеклова. Пример: разложить функцию в ряд по собственным функциям задачи ШЛ.

Пусть и удовлетворяет КУ: ,

Пусть – ортогональная система всех линейно независимых

собственных функций задачи Штурма–Лиувилля:

Тогда справедливо представление функции f(x) в виде ряда (Фурье):

, , причем ряд сходится абсолютно и равномерно на всем

Пример: Пусть дана задача ШЛ:

Тогда, решив её как мы сделали в примере 1. 3 (с. 6), получим систему

собственных функций:

, , ,

Посчитав норму собственных функций:

,

получим представление для f(x): ,

что совпадает с формулой разложения f(x) в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.

Для получим тригонометрический ряд Фурье по синусам:

, .

 

Действительность собственных функций оператора ШЛ.

Без ограничения общности можно считать, что все собственные функции задачи Штурма–Лиувилля действительнозначны.

Док: Пусть функция y(x) = u(x) + iv(x) – комплекснозначная собственная функция задачи Штурма–Лиувилля, соответствующая собственному значению . Тогда равенство:

можно переписать в виде:

Поскольку в силу теоремы билета 3, а в силу определения основного дифференциального оператора билета 2. Данное уравнения распадается на два, для и

, .

Это означает, что функции u(x) и v(x) также являются собственными

функциями, соответствующими одному и тому же собственному значению .

По теореме билета 5 о линейной зависимости функций, соответствующие одному и тому же значению , это означает, что u(x) и v(x) линейно зависимы, т.е. такое что:

, откуда сразу , либо

, откуда сразу .

Таким образом, введение комплекснозначных собственных функций не обо-

гащает систему всех собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, а

лишь добавляет в неё линейно зависимые элементы.

 

Лемма о диссипативности

Пусть f(x) – функция класса (т.е. удовлетворяет классическим КУ).

Тогда справедливо неравенство:

док: Проверим неравенства: ,

Обоснуем первое неравенство. Рассмотрим три случая:

1) . Тогда , и неравенство превращается в равенство:

2) . Тогда , и неравенство превращается в равенство:

3) . Тогда , и неравенство превращается в равенство:

Второе доказывается аналогично

 

Предел последовательности собственных значений

Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля образуют бесконечное множество, его можно пронумеровать в порядке возрастания, и полученная последовательность :

Теорема о сущ шаг 2

-вронскиан пары функций .

Определим

Проверим теперь выполнение условий 1)-4)

1) , где ;
Действительно, знаменатель и не обращается в нуль, так как

а Вронскиан системы линейно независимых решений однородного линейного уравнения всюду отличен от нуля. Числитель же непрерывен и даже дважды непрерывно дифференцируем в . Однако при и

при у него один и тот же предел:

2) при любом фиксированном и удовлетворяет однородному уравнению (1): при
Очевидно так, ибо мы строили и как решения однородного уравнения, а все остальные множители от x вообще не зависят.

3) при любом фиксированном первая производная имеет в точке разрыв первого рода, причём:

Для того, чтобы убедиться в справедливости этого равенства для по-

строенной , найдём

,

откуда

4) при любом фиксированном функция удовлетворяет краевым условиям по x: ,

При этом при построении функции мы позаботились о том,

чтобы при она вела себя как , а при

– как . Поскольку мы строили и так, чтобы

они удовлетворяли КУ, – на левом конце, – на правом, сразу

получается, что

 

 

Теорема Гильберта

Пусть и – заданные функции, , , и однородная (т.е. при ) задача (1) –(3) не имеет других решений, кроме тождественного нуля. Тогда для любой функций существует и притом единственное решение краевой задачи (1) – (3):

(1)

(2)

(3)

При этом справедлива формула: , где -функция Грина задачи (1)-(3)

док: Существование решения Пользуясь явным видом построенной нами функции Грина и введя для краткости обозначения: , . Запишем

и тогда z(x) примет вид:

= = + = + = + . Тогда = + + - = + = + .Тогда = + + - =[подставим c(x)]= + + = + + = + + .

Убедимся, что -решение уравнения (1): .

+ - = + + + + - + = + + .Проверим выполнение КУ на левом конце: При

,

Откуда .Краевое условие на правом конце проверяется аналогично. Существование решения, заданного равенством (6), доказано.

Единственность: Пусть и – два решения краевой задачи (1) – (3). Тогда их разность удовлетворяет однородной задаче:

Но по условию теориемы у такой задачи есть только тривиальное решение, те , а значит .

Замечание 1. 1. Из теоремы 1. 1 и теоремы 1. 3 моментально следует, что

при выполнении условий и , функция Грина краевой задачи существует тогда и только тогда, когда однородная краевая задача имеет только тривиальное

решение.

 

Действительность собственных значений оператора ШЛ

Все собственные значения задачи Штурма–Лиувилля действительны.

Док: Пусть – собственное значение задачи Штурма–Лиувилля и, соответственно, оператора Штурма–Лиувилля L[y]. Пусть y(x) = u(x)+iv(x) – соответствующая собственная функция. Тогда , что равносильно системе

=> равны между собой

, что означает, что , а значит