Уравнение Фредгольма II-го рода с симметричным ядром. Связь с краевой задачей

Рассмотрим уравнения Фредгольма II-го рода: , . с непрерывным ядром и непрерывной правой частью .

Опр: Ядро интегрального оператора Фредгольма называется симметричным, если справедливо равенство: . Обозначим интегральный оператор Фредгольма через A: . И вспомним определенние характаристического числа: Числа , при которых однородное уравнение имеет нетривиальное решение, называются характеристическими числами оператора A, а всё множество таких чисел вида называется спектром оператора A. Само же нетривиальное решение y называется собственной функцией оператора A, соответствующей характеристическому числу .

Теорема Пусть и , – заданные функции, и однородная задача: (59), (60), (61) не имеет других решений, кроме тождественного нуля. Тогда задача Штурма–Лиувилля: , , эквивалентна интегральному уравнению: (63), где функция Грина задачи (59) – (61), а т.е. y(x) является собственной функцией задачи (62), (60), (61), соответствующей собственному значению , тогда и только тогда, когда y(x) является собственной функцией уравнения (63), соответствующей характеристическому значению .

Док: По теореме Гильберта (билет 13) существует функция Грина задачи (59) – (61), причём решение задачи (62), (60), (61), если правую часть рассматривать как известную функцию, представляется в виде: (64), откуда = . Итак, пара есть собственная функция задачи (62), (60), (61) и соответствующее ему собственное значение тогда и только тогда, когда пара есть собственная функция уравнения (63) и соответствующее

ему характеристическое значение. Замечание Напомним, что функция Грина всегда симметрична, поэтому получаемое интегральное уравнение

есть уравнение с симметричным ядром.

 

27. Уравнение Фредгольма II-го рода с симметричным ядром. Симметричность оператора

Рассмотрим уравнения Фредгольма II-го рода: , . с непрерывным ядром и непрерывной правой частью .

Опр: Ядро интегрального оператора Фредгольма называется симметричным, если справедливо равенство: . Обозначим интегральный оператор Фредгольма через A: . И вспомним определенние характаристического числа: Числа , при которых однородное уравнение имеет нетривиальное решение, называются характеристическими числами оператора A, а всё множество таких чисел вида называется спектром оператора A. Само же нетривиальное решение y называется собственной функцией оператора A, соответствующей характеристическому числу .

Лемма Оператор A является симметричным, т.е. – функций класса справедливо равенство .

док: Рассмотрим выражение : = = = = = = = = .

 

28. Уравнение Фредгольма II-го рода с симметричным ядром. Действительность характеристических значений:

Рассмотрим уравнения Фредгольма II-го рода: , (51) (52). с непрерывным ядром и непрерывной правой частью .

Опр: Ядро интегрального оператора Фредгольма называется симметричным, если справедливо равенство: . Обозначим интегральный оператор Фредгольма через A: . И вспомним определенние характаристического числа: Числа , при которых однородное уравнение имеет нетривиальное решение, называются характеристическими числами оператора A, а всё множество таких чисел вида называется спектром оператора A. Само же нетривиальное решение y называется собственной функцией оператора A, соответствующей характеристическому числу .

Теорем а Все характеристические значения оператора Фредгольма с симметричным ядром действительны.

Док. Пусть – характеристическое значение оператора Фредгольма A. Число можно не рассматривать, т.к. оно и так действительно. Тогда , – характеристическое значение оператора Фредгольма A. Пусть – соответствующая собственная функция, т.е. решение однородного уравнения (52). Тогда , что равносильно системе , = , = = ,(равны между собой) откуда , что означает, что , а значит .Приведём без доказательства ещё один факт.

Теорема 2. 12. Оператор Фредгольма с симметричным ядром (отличным от тождественного нуля) имеет по крайней мере одно характеристическое число, не равное нулю.

 

29. Уравнение Фредгольма II-го рода с вырожденным ядром. Эквивалентность СЛАУ. Следствия

Рассмотрим уравнения Фредгольма II-го рода: , (37) (38). с непрерывным ядром .

опр: Ядро называется вырожденным, если оно представимо в виде конечной суммы произведений функций, зависящих только от x, на функции, зависящих только от t: (39).

Лемма об эквивалентности: Пусть , , . Тогда уравнение Фредгольма II-го рода (37) эквивалентно СЛАУ (41) с коэффициентами (42), т.е. имеют место следующие утверждения:

1) Всякое решение уравнения (37) представимо в виде (40), где является решением СЛАУ: (41). где коэффициенты и вычисляются по формулам: , (42).

2) Наоборот, всякому решению СЛАУ (41) с коэффициентами (42) соответствует решение уравнения (37) вида (40).

док: Перенесём интегральное слагаемое в уравнении в правую часть: и учтем вид вырожденного ядра: = . Таким образом равенство (40) получено. Чтобы найти числа , поменяем в нём x на t, а индекс суммирования k на j и подставим его в каждое из равенств: , получим = или короче .Записав последнее равенство в матричном виде, получим (41). Теперь обратим внимание, что проведённые выкладки означают, что если – решение (37), то его можно записать в виде (40), причём где являются решением СЛАУ (41) с коэффициентами (42). Иначе говоря, выполняется утверждение 1) леммы. С другой стороны, вычислив по заданному ядру коэффициенты (42), мы можем обратить все выкладки и прийти к выводу, что функция , вычисленная о формуле (40), обязана удовлетворять

уравнению (37). Иными словами, выполняется утверждение 2) леммы

Следствия: (Альтернатива Фредгольма). Пусть , , , а -вырожденное ядро. Тогда имеет только тривиальное решение .Суть данной теоремы в том, что существование единственного решения (37) равносильно отличию от нуля определителя матрицы в (41). Следующая теорема относится к случаю, когда этот определитель равен нулю.

Теорема Пусть , , , а - вырожденное ядро. Кроме того - ФСР однородного уравнения(38). Тогда уравнение (37) либо имеет бесконечно много решений реализуется, если функция f(x) ортогональна в смысле скалярного произведения всем решениям сопряжённого однородного уравнения Если же для какого-либо решения этого уравнения уравнение (37) не имеет решений вообще