Собственные функции и собственные значения операторов

Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора .

Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если

 

,

(3.43)

то такую функцию называют собственной функцией оператора , а число его собственным значением.

Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений для соответствующих набору собственных функций , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида

 

(3.44)

Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются возможными все значения , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения лежат в ряде интервалов.

В ряде случаев одному собственному значению оператора принадлежит не одна, а несколько собственных функций . Такие случаи называются вырожденными, а число таких функций называется кратностью вырождения.

Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций.

Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами, и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть - самосопряженный оператор, а - его собственная функция, соответствующая собственному значению . По определению, функция является решением уравнения

 

.

(3.45)

Выполнив здесь операцию комплексного сопряжения, получим

 

.

(3.46)

Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить , то в результате получим интегральное соотношение

 

,

(3.47)

которое с учетом (3.45) и (3.46) преобразуется к виду

 

.

(3.48)

Отсюда следует, что , т.е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными величинами.

Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантовомеханических операторов. Если и - две собственные функции самосопряженного оператора , соответствующие различным собственным значениям и , то они являются решениями следующих уравнений

 

.

(3.49)

Условие (3.42) самосопряженности оператора , записанное для функций и принимает вид

 

.

(3.50)

Отсюда с учетом (3.49) получаем

 

.

(3.51)

Так как для самосопряженного оператора , то (3.51) преобразуется к виду

 

.

(3.52)

Если , то , и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям,

 

.

(3.53)

Если волновые функции и считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности

 

,

(3.54)

где символ Кронекера , и .

В математической теории линейных самосопряженных операторов доказывается, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция , определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, то есть представлена в виде ряда

 

.

(3.55)

Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Действительно, умножим ряд (3.55) на и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

 

.

(3.56)

Отсюда, меняя обозначение на , получаем формулу для определения коэффициентов в разложении (3.55):

 

.

(3.57)

Если оператор имеет непрерывный спектр собственных значений , лежащих в интервале , то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому

 

,

(3.58)

и непрерывное множество коэффициентов определяется по формуле

 

.

(3.59)

 

5. Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид: