Квадратичные формы. Кривые второго парядка

 

Квадратичной формой двух переменных х и у называется сумма вида

f(x,y) = a₁x²+2bxy+a₂y². (1)

Симметрическая матрица

называется матрицей квадратичной формы f(х,у).

Выполним линейную замену переменных:

(2)

которое определяется матрицей

. (3)

Непосредственным вычислением легко проверить, что квадратичная форма (1) перейдет в квадратичную форму от переменных х, у с матрицей

TAT^'.

где Т^' получается из Т транспонированием.

Квадратичная форма вида

l₁х₁²+l₂х₂² (4)

называется канонической, ее матрица является диагональной.

 

 

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Матрица называется положительной (неотрицательной), если . В первом случае будем писать А >0, во втором А ≥ 0. Рассмотрим весьма важные для экономических приложений свойства положительных матриц.

 

Теорема. Положительная матрица А всегда имеет положительный характеристический корень l_0, который является простым. Все остальные характеристические корни по модулю меньше l₀. Собственный столбец, отвечающий l₀, может быть выбран положительным.

Доказательство. Рассмотрим множество столбцов, определенные соотношением

Очевидно, что нулевой столбец не входит в это множество. Положим для А:

.

Пусть S(l) – множество всех неотрицательных l, для каждого из которых, найдется неотрицательный столбец Х, такой, что

lХ ≤ АХ.

Суммируя левые и правые части, получим l ≤ М. Отсюда следует, что S(l) является ограниченным множеством и, кроме того, непустым, поскольку А положительная матрица.

Пусть - последовательность чисел l _i, сходящаяся к l₀, а - последовательность столбцов, таких, что

l_iX_i ≤ AX_i, i=1, 2,….

Выбираем из подпоследовательность, сходящуюся к Х₀ – неотрицательному ненулевому вектору. Так как при этом

l₀X₀≤AX₀, (1)

то l Î S(l).

Покажем, что в (3.1) выполняется на самом деле равенство. Доказательство проведем от противного. Предположим без потери общности, что

 

(2)

где х_i, i = 1, 2, …, n – компоненты вектора Х₀. Рассмотрим теперь столбец

.

Из (3.2) следует, что АY > l₀Y. Последнее неравенство противоречит свойству максимальности l₀. следовательно, d = 0 и равенство должно иметь место во всех соотношениях (3.2). это означает, что l₀ – собственное значение, а Х_i – отвечающий ему собственный столбец, который положителен.

Покажем теперь, что l₀ – наибольшее по модулю собственное значение. Предположим, что существует характеристическое число l матрицы А, такое, что . Пусть Z – соответствующий этому числу собственный столбец, тогда из AZ = lZ следует, что

, (3)

где - это столбец, компоненты которого являются модулями компонент столбца Z. Из неравенства (3.3) и определения l₀ следует, что . Отсюда , следовательно, l₀ – наибольшее по модулю значение матрицы А.

Покажем в заключение, что l₀ является простым характеристическим числом. Пусть U – вещественный собственный вектор матрицы А, соответствующий l₀ и непропорциональный Х₀. нетрудно подобрать такое e, чтобы столбец Х₀+eU был неотрицательным и имел некоторые компоненты равными нулю, но A(X₀+eU)=l₀(X₀+eU) > 0, и мы приходим к противоречию. Которое доказывает простоту l₀. Доказательство теоремы Перрона завершено.

Для неотрицательных матриц имеется обобщение теоремы Перрона. Приведем без доказательств формулировку этого результата.

Квадратная матрица называется разложимой, если множество индексов , которыми занумерованы столбцы и строки, можно разбить на два непустых пересекающихся множества S₁ и S_2, таких, что а_ij = 0 для всех iÎS₁, jÎS₂.

 

Теорема (Фробениуса). Неотрицательная неразложимая матрица А всегда имеет простой положительный характеристический корень R. Все остальные характеристические корни лежат в круге . Собственный вектор, отвечающий R, может быть выбран положительным.

 

Упражнения

1. Найти перронов корень и соответствующий ему собственный столбец для матрицы

.

2. Является ли разложимой матрица

.

 

 

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

 

В начале 30-х гг. профессор Гарвардского университета В. Леонтьев предложил линейную модель национальной экономики. Эта модель предполагает, что экономика состоит из некоторого числа взаимодействующих отраслей, каждая из которых производит только один вид продукции и использует только один процесс производства. Например, сельское хозяйство и сталелитейная промышленность могут быть рассмотрены как отрасли. Для продажи своей продукции данная отрасль взаимодействует с другими отраслями и внешним рынком. Итак, пусть х_i будет обозначать количество единиц продукции, произведенной i -й скоростью в данном году. Пусть спрос на конечную продукцию этой отрасли равен у_i. Пусть х_ij единиц продукции i-й отрасли потребляет j-я отрасль. Таким образом, если i-я отрасль в точности удовлетворяет спрос внутреннего и внешнего рынка, то

x_i = x_i1 + x_i2 +…+ x_in + y_i,

и мы получаем балансовое уравнение для каждой отрасли i.

Важное предположение, сделанное В. Леонтьевым, заключается в линейном законе, т.е.

x_ij = a_ijx_j,

где а_ij – коэффициент пропорциональности, зависит от технологии j-й отрасли.

Окончательно

x_i = а_i1x₁ +…+ а_inx_n + y_i, i = 1, …, n. (4)

Балансовые уравнения (4) могут быть записаны в матричном виде

X = AX + Y,

где

; ; .

 

Количество единиц продукции х_i в уравнении (4) может быть заменено их стоимостным и ценовым содержанием. Модель (4), несмотря на свою простоту, может оказаться весьма полезной, для изучения влияния изменения цен в одной отрасли на цены в других отраслях.

 

 

Упражнения

1. Для балансовой таблицы «затраты - выпуск»

	Р1	Р2	Y	X
Р1
Р2

 

Найти таблицу технологических коэффициентов и записать балансовую модель в матричном виде.

2. Восстановить недостающие элементы в таблице

	Р1	Р2	Y	X
Р1
Р2

Если задана таблица технологических коэффициентов

.

 

 

ПРОДУКТИВНЫЕ МАТРИЦЫ

 

Запишем матричный вид для балансовой модели

X = AX + Y.

Известно, что необходимым и достаточным условием существования и единственности элемента Х при любом элементе Y является невырожденность матрицы Е – А, так как

(E - A)X = Y.

Однако для сохранения экономического смысла решения этого уравнения необходимо дополнительно потребовать, чтобы для любого элемента Y ≥ 0 решение Х было также неотрицательным.

Заметим, что не для всякой неотрицательной матрицы А ≥ 0 такое условие выполняется. Например, для матрицы

нет неотрицательных решений для Y ≥ 0. Таким образом, исследование балансовых уравнений сводится к выяснению условий, которым должна удовлетворять неотрицательная матрица А, для того чтобы существовало неотрицательное решение при любом неотрицательном Y.

Неотрицательная матрица А > 0 называется продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный элемент Х > 0, что

(E - A)X > 0.

В экономической системе с такой матрицей каждый объект производит конечный продукт.

Рассмотрим некоторые свойства продуктивных матриц.

Лемма 1. Для продуктивной матрицы А

.

Доказательство. Пусть матрицы–столбцы Х₁ и Х₂ связаны соотношением

Х₁ ≥ Х₂,

тогда для А ≥ 0

АХ₁ ≥ АХ₂.

С учетом продуктивности А

Х > АХ ≥ 0.

Для последнего неравенства вытекает существование 0 < l < 1, такого, что

lХ > АХ. (5)

Умножая (5) слева на матрицу А, получим

lАХ > А²Х. (6)

Умножая (5) на l получим

l²Х > lАХ. (7)

Объединяя (6) и (7) получим

l²Х > А²Х ≥ 0.

Поступая аналогичным образом, можно получить

l^kХ > А^kХ ≥ 0

для любой степени k. Поскольку 0 < l < 1, то элементы матрицы А^k стремятся к нулю при k → ∞, так как Х > 0.

 

Лемма 2. Если для продуктивной матрицы А существует Х, такой, что

Х ≥АХ, (8)

то

Х ≥ 0.

Доказательство.Умножая (8) последовательно k – 1 раз на матрицу А, получим цепочку неравенств

Х ≥ АХ ≥ А²Х ≥ А^kХ.

Рассматривая эту цепочку при k → ∞ и применяя лемму 1, получаем Х ≥ 0.

 

Лемма 3. Если А – продуктивная матрица, то det(E - A) ≠ 0.

Доказательство. Предположим противное, т.е. det(E - A) = 0, тогда существует Х ≠ 0, удовлетворяющий системе

(Е - А) Х = 0, (9)

или

Х = АХ

по лемме 2

Х ≥ 0. (10)

Элемент (-Х) также удовлетворяет (3.9), следовательно, по лемме 2.

 

(-Х) ≥ 0. (11)

Объединяя (10) и (11), получаем Х = 0, т.е. система (9) имеет только нулевое решение. Полученное противоречие доказывает лемму.

 

Теорема 1. Для существования единственного неотрицательного решения Х ≥ 0 для балансовых уравнений

(E - A)X = Y

при любом неотрицательном Y ≥ 0 необходима и достаточна продуктивность матрицы А.