Доказательство необходимости.

Пусть существует Х ≥ 0 при любом Y ≥ 0, среди которых выберем Y > 0, т.е.

(E - A)X = Y > 0. (12)

Покажем, что Х>0. Действительно, из (12) вытекает

Х – АХ > 0 или Х > АХ,

Так как А ≥ 0 и Х ≥ 0, то Х > АХ ≥ 0 и, следовательно, Х>0. существование элемента Х>0 для неравенства

(E - A)X > 0

доказывает продуктивность матрицы А.

Доказательство достаточности. Балансовое уравнение

(E - A)X = Y

с продуктивной матрицей А по лемме 3 имеет единственное решение при любом Y. Если Y ≥ 0, то

Х ≥ АХ.

В силу леммы 2 Х ≥ 0, и теорема доказана полностью.

При расчете производительной программы Х необходимо заранее знать, является ли матрица технологических коэффициентов продуктивной.

Рассмотрим критерии продуктивности.

 

Теорема 2. Матрица А ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица S=(E - A)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство необходимости. Пусть А – продуктивная матрица. Запишем, согласно определению обратной матрицы,

(Е - А)S = Е. (13)

Представим матрицу S и E в блочно – столбцовом виде:

.

Тогда матричное уравнение (13) эквивалентно n уравнениям

(Е - А)S_j = E_j, j = 1, …, n. (14)

Так как E_j неотрицательна, то, по теореме 3.6, S_i ≥ 0.

Доказательство достаточности.

Пусть S существует и неотрицательна. Покажем, что существует элемент Х>0, для которого Х > АХ. Рассмотрим матрицу-столбец U, элементами которой являются единицы. Пусть

X = SU. (15)

Поскольку S не может иметь строк, состоящих из одних нулей, то

Х>0.

Умножая (15) слева на (Е - А), получаем

(Е - А)Х = U > 0,

что доказывает продуктивность матрицы А.

 

 

Упражнения

1. Используя соотношение (14), дайте экономическое толкование столбцам матрицы S.

2. Являются ли следующие матрицы продуктивными:

а) ; б) ; в) .

3. Может ли продуктивная матрица иметь характеристический корень, равный 1.

4. Может ли продуктивная матрица быть диагональной; ортогональной.

 

 

НОРМА МАТРИЦЫ

 

Рассмотрим матричную характеристику, которую можно грубо трактовать как «длину» матрицы.

Определение. Неотрицательное число называется нормой матрицы А, если выполнены следующие свойства:

1. > 0, если А ≠ 0;

= 0, если А = 0;

2.

3.

4.

5.

Свойства 1-5 должны выполняться для любых матриц А, В и любого скаляра l. При этом матрицы А и В имеют размеры, необходимые для сложения и умножения.

Определение допускает различные способы вычисления нормы матрицы.

В то же время это понятие должно обслуживать задачи, связанные с собственными значениями и системами уравнений.

Действительно, переходя к нормам в определении собственного столбца

АХ = lХ,

получим:

. (16)

последнее неравенство будет иметь практическое значение, если не будет слишком большим. Для вычисления наименьшего значения нормы воспользуемся свойством 4:

Отсюда

.

Выражение

будет всегда меньше любой нормы матрицы А.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что это выражение удовлетворяет свойствам 1-5, т.е.

.

Ясно, что это выражение зависит от способа вычисления и выбора размеров матрицы В. Если В матрица-столбец, то АВ также будет матрицей-столбом. Выберем для матрицы-столбца

Х = (х₁х₂…х_n)^Т

.

Это формула задает семейство р-норм

.

Подсчитаем 1-норму матрицы, обозначив :

.

Знак равенства может достигаться для матрицы, у которой все компоненты ненулевые за исключением k-го, который равен 1, и достигается при j=k.

 

Упражнения

1. Найти .

2. Найти 1 – норму матриц:

 

а) б)

3. Найти ∞ - норму для упражнения 2.

4. Доказать:

а)

б) .

 

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД

Методы решения линейных алгебраических уравнений, такие, как правило Крамера или метод исключения Гаусса, могут быть применены для расчета производственной программы Х или элементов обратной матрицы (Е - А)^-1. Однако корректное применение этих методов требует вычисления определителей.

Для матриц небольших размеров применение этих методов оправдано. Для матриц больших размеров более оправдано применение итерационных методов и ЭВМ.

Рассмотрим балансовое уравнение в матричной форме

X = AX + Y (17)

и последовательность матриц , которая получается с помощью итерационной формулы:

(18)
Х₀=0.

Воспользуемся понятием матричной нормы для анализа поведения последовательности и укажем условия сходимости к решению Х уравнения (17). Вычтем Х из левой и правой части соотношения (18):

Из уравнения (17) Y = X – AX. Тогда

Переходя к нормам, получим

Если q<1, то получим

.

Чтобы установить скорость стремления к нулю, запишем цепочку неравенств, обозначив :

x₁ £ qx₀

 

x₂ £ qx₁

…

x_k+1 £ qx_k

…

Отсюда x_k+1 £ q^k+1x₀ и скорость стремления x_k к нулю не хуже, чем скорость стремления к нулю общего члена геометрической прогрессии со знаменателем q.

 

 

Упражнения

1. Написать итерационный метод для решения системы линейных алгебраических уравнений АХ = В.

2. Доказать сходимость (18) если А – продуктивная матрица.

 

 

ВОЗМУЩЕНИЕ РЕШЕНИЙ

 

В этом параграфе рассмотрим влияние возмущений в матрице и правой части на решение уравнений вида

AX = Y. (19)

Теорема. Справедливо неравенство

, если .

Доказательство. Неравенство дает невырожденность матрицы (Е+А). действительно, соотношение (16) дает . Применяя Жорданово разложение матрицы, получим

E+A=E+TJT^-1=T(E+J)T^-1.

Отсюда . Треугольная матрица Е+J не имеет нулей на главной диагонали и, следовательно, .

Справедливы равенства

Е=(Е+А)^-1(Е+А)=(Е+А)^-1+(Е+А)^-1А.

Так как , то

.

Отсюда

.

Предположим, что для квадратной матрицы А существует обратная матрица А^-1, следовательно, решение Х уравнения (19) единственно. Пусть вместо точных входных данных известны возмущенные входные данные А_h. Y^d:

.

Итак, пусть А переходит а А_h, Y переходит вY^d. Тогда Х перейдет в Х^y, которое удовлетворяет уравнению А_hX^y=Y^d. Запишем обозначения для возмущений H=A_h-A, D=Y^d-Y, y=X^y-X. Возмущенное решение удовлетворяет уравнению

(A+H)(X+y)=Y+D.

Вычитая (3.19) из (3.20), получим (A+H)y=D-НХ. Предположим, что

.

Выразим

y=(А-Н)^-1(D-НХ)=(Е-А^-1Н)^-1А^-1(D-НХ).

Переходя к нормам, получим

.

Теорема 3.8 дает

.

Из (19) следуют неравенства . С учетом этого

.

Следует отметить решающую роль в этой оценке числа

.

Системы линейных уравнений, для которых это число велико, называются плохо обусловленными.

 

Упражнения

1. Доказать, что если матрица А невырождена и , то матрица А+В также невырождена.

2. Показать, что число обусловленности cond(A) не меняется при умножении матрицы А на ненулевое число.

3. Доказать неравенство

.

4. Оценить возможное возмущение решений систем:

.

при изменении компонент правой части на 0.01.

 

 

ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ РОСТ

 

В демографических исследованиях изучаются изменения возрастной структуры народонаселения. В действительности мужья и жены часто принадлежат к разным возрастным группам, и деторождение зависит как от этого фактора, так и от индивидуальной способности женщин к деторождению. Однако в математической модели, которая будет здесь рассмотрена, детей классифицируют лишь по возрастным группам матерей. При таком способе анализа удобнее всего представлять изменения, происходящие за определенный период, в виде таблицы.

Воз-раст	Кол-во женщин	Кол-во доче-рей на 1940-1955гг.
на 1940г.	на 1955г.
0-14
15-29
30-44

 

 

Обозначим возрастную структуру населения на время переписи 1940г тремя величинами – А₄₀, В₄₀, С₄₀. Тогда А₅₅, В₅₅, С₅₅ будут удовлетворять следующим соотношениям:

(21)

Величины, стоящие в круглых скобках в первом соотношении, естественно назвать коэффициентами рождаемости, а величины, стоящие во втором и третьем выражении, - коэффициентами выживаемости. Если предположить, что эти коэффициенты не изменяются во время прогнозирования, то полученные соотношения позволяют прогнозировать возрастной состав с шагом 15 лет. Разумеется, такая постоянность коэффициентов весьма малоправдоподобна, так как рождаемость и смертность зависят либо от случайных, либо от систематически действующих факторов или же от тех и других одновременно. Поэтому исследователь, стремясь приблизиться к реальности, может вводить переменные коэффициенты. Этот процесс приводит к усложнению модели. Методы, применяемые демографами, могут быть распространены на изучение проблем, касающихся экологии и эпидемиологии. Точно так же можно прогнозировать развитие популяций. Состоящих из неодушевленных предметов, таких, как телеграфные столбы, железнодорожные вагоны или жилые дома. В таких случаях нормы рождаемости заменяются нормами вложений, а показатель смертности – показателем износа. При этом модель показывает необходимое пополнение или замену, обеспечивающую надлежащий запас в течение любого желаемого отрезка времени.

Запишем соотношения (21) в матричном виде:

SX₄₀=X₅₅,

где

.

 

Предположив постоянство матрицы S, можно прогнозировать на любой период:

SX₄₀=X₅₅; SX₅₅=X₇₀; SX₇₀=X₈₅…

или

S³X₄₀=X₈₅…S^¥X₄₀=X_¥.

Рассмотрим вопрос о предельном состоянии возрастной структуры Х_¥. Очевидно, что это связано с изучением матрицы S^¥. Для простоты предположим, что матрица S приводится к диагональному виду, т.е. существует матрица Т, такая, что

S=TLT^-1. L = Diag (l₁, l₂ … l_n).

Тогда

S^k=TL_kT^-1.

Пусть . Тогда

.

.

Пусть Т₁ – собственный столбец, отвечающий собственному значению l_1, а Y – первая строка матрицы Т^-1. С учетом этого

.

,

где число . Таким образом, предельное состояние возрастной структуры пропорционально собственному столбцу матрицы S, отвечающего максимальному собственному значению.

 

Упражнения

1. Какой процесс при вычислении предельного состояния выгоднее с точки зрения вычислительной работы:

SX_k = X_k+1 или S^kX.

 

РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

 

В экономике часто необходимо определить наилучшую формулу, связывающую одну переменную с некоторыми другими переменными. В этом случае обычно начинают с предположения, что существует линейная связь между «зависимой» и «независимой» переменными. Например, если y является зависимой переменной и х₁, х₂, …, х_n – независимые переменные, то соотношение вида

(22)

может быть использовано для выражения у через х_i. Коэффициенты a_i предполагаются постоянными, а зависимость (22) называют регрессионной модель. Наилучшие значения a_i могут быть подобраны исходя из исторических экспериментальных данных. Например, для предсказания того, как темпы развития инфляции меняются от уровня безработицы, можно было бы взять такую модель: когда уровень безработицы равен нулю, темпы инфляции составляют b₀ процентов, а когда безработица составляет х процентов, то инфляция составляет b₀+b₁x процентов. Таким образом, за i-й промежуток времени

у_i = b₀+b₁x_i, i = 1,…, m. (23)

Имея исторические данные у_i, х_i, можно попытаться подобрать наилучшие значения b₀ и b_1. Существует несколько способов нахождения b₀ и b₁, но наиболее удобным является метод наименьших квадратов.

Понятие нормы матрицы дает нам возможность пересмотреть и обобщить понятие решения системы линейных уравнений. Напомним, что под классическим понятием решения матричного уравнения

АХ=В (24)

мы понимаем матрицу К, которая, после подстановки ее вместо Х, обращает уравнение в тождество. Однако для уравнения (24), согласно теореме Кронекера-Капелли, такой матрицы К может не существовать. Такая ситуация часто возникает в регрессионных моделях, где мы имеем ело с сильно переопределенными системами.

Используя понятие нормы, можно обойти указанную трудность, изменив само понятие «классическое решение». Буем понимать под обобщенным решением уравнения (24) матрицу V, которая доставляет минимальное значение норме невязки АХ – В, т.е.

.

Однако способы задания нормы могут привести к серьезным вычислительным трудностям при решении задачи (25). Наиболее просто проблема выглядит для 2-нормы. Критерий (25) получил название метода наименьших квадратов (МНК), если учесть, что

.

Покажем, что МНК – решение всегда существует и укажем способ его нахождения.

Представим матрицу

 

В = СВ+(Е - С)В,

где С = А(А^ТА)^-1А^Т, предположив, что матрица (А^ТА)^-1 существует.

Проведем вычисления

.

Второе слагаемое равно нулю так как

А^Т(Е-С)=А^Т - А^ТА(А^ТА)^-1А^Т = А^Т - А^Т=0.

Отсюда

.

Выражение не зависит от Х, а принимает минимальное значение, равное нулю, при

Х = (А^ТА)^-1А^ТВ. (26)

Таким образом, мы установили, что МНК – решение существует и является единственным, если существует матрица (А^ТА)^-1.

 

 

Упражнения

1. Привести вид всех матриц в выражении (26) для определения b₀, b₁ регрессионной модели (23).

2. Доказать cond(A^TA) ³ cond A.