Линейные операции над векторами

1) Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы и сносятся в общую точку на них строят параллелограмм и его диагональ называют суммой векторов и

2)Разностью двух векторов и , отложенных от одной точки является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен , где ‑ некоторое число, если:

1. коллинеарен ;

2.длина вектора отличается от длины вектора в раз,

при , и направлены в одну сторону, при ‑ в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ; 3.

4. .

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4.3)

следует, что .

В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Колинеальные векторы всегда линейно зависимы

Если среди векторов есть хоть один нулевой вектор, но они линейно зависимы

Если среди векторов есть несколько линейно зависимых, то векторы будут линейно зависимы

Векторы параллельные одной плоскости -компланарные

Если 3 вектора не нулевые и не компланарны, то они линейно не зависимы

Любые 4 вектора линейно зависимы, если есть среди них 3 компланарых

Базис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат , третья – осью аппликат ; точка ‑ начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям . Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

2.Различные формы произведения векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

Скалярное произведение

Скалярными произведением (a,b) двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ;

3. ;

Если и ‑ ненулевые векторы, то (a,b)=0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если (a,b)>0, то угол между и - острый, если (a,b)<0, то угол - тупой;

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. . Следовательно, .

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор [ ], длина и направление которого определяется условиями:

1. , где ‑ угол между и ;

2. перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. 3.

2.

Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда и коллинеарны. В частности, для любого вектора ;

Если и неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если рассматриваемые векторы , и некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор , то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов (которое обозначается ) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Знак произведение положителен, если векторы , и , образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов , и : для того, чтобы векторы , и были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля.

Определение.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.