Евклидовы пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Неравенство Коши-Буняковского.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

где и .

3. Вообще любое предгильбертово пространство (пространство со скалярным произведением ).

Норма вектора

Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:

1.

2. (неравенство треугольника);

3.

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Нетрудно видеть, что из аксиом нормы вытекает свойство неотрицательности нормы:

Действительно:

Из 3 получаем, что

Теперь из 2 получаем

. Таким образом, .

Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой () называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

9.Линейные операторы. Их свойства и действия над ними. Обратный оператор. Преобразование матрицы линейного оператора. Подобные матрицы. Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства называется линейное отображение пространства в себя.

Поскольку линейное преобразование является частным случаем линейного отображения, к нему применимы все понятия и свойства, рассмотренные для отображений: инъективность, сюръективность, биективность, обратимость, ядро, образ, дефект, ранг и т.д.

Матрицей линейного оператора (преобразования) в базисе пространства называется квадратная матрица , составленная из координатных столбцов образов базисных векторов , найденных относительно базиса .

Матрица биективного линейного оператора (преобразования) обратима, т.е. невырождена. Поэтому биективное (обратимое) преобразование называют также невырожденным.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Канонический вид матрицы. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию.

В евклидовом пространстве для оператора 9 определяется сопряженный оператора 10 той же формулой 11 при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора 12 в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора 13 При продолжении взаимно сопряженных операторов 14 с S на 15 они останутся сопряженными.

Действительно,

Нормальные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор 16 в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию 17 пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.

Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса 18 определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.

Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению 19 при 20 базис из собственных векторов для собственного значения 21 можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и 22 сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.