В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные гато и фреше.

Правило Лопиталя и формула Тейлора.

Правила Лопиталя

Пусть и - функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки a, где a - конечное число или (если , то под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь л ; если , то окрестность – луч ). В самой точке a функции могут быть не определены. Пусть при .

I правило. Если:

1.

2.Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .

II правило. Если:

1. ;

2.Существует конечный или бесконечный предел Тогда: .

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или . Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: . Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида или .

Формула Тейлора Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и раз дифференцируема в ней. Тогда, при имеет место формула:

Полученный многочлен называется формулой Тейлора -го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Если , то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

Для остаточного члена формулы Тейлора существуют и другие представления. Так, если функция имеет производную –го порядка в окрестности точки , то остаточный член может быть представлен в форме Лагранжа:

, .

Исследование функции на экстремум, монотонность и точки перегиба функции.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых точек и из промежутка , удовлетворяющих неравенству . Функция называется убывающей на , если из условия следует .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то для того, чтобы была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала .

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда .

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами . График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке вторая производная положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .

Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило. Если равна нулю или не существует и при переводе через точку меняет знак, то ‑ точка перегиба графика функции .

II правило. Если и , то является точкой перегиба графика функции .

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: .

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

 

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и поступают следующим образом.

- Находят стационарные точки функции;

- Находят точки , в которых производная не существует или обращается в бесконечность;

- Вычисляют значения:

‑ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут и ‑ глобальные экстремальные значения.