Предел функции. Понятие непрерывности и свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых.

Непрерывность функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке Пусть . Функция называется непрерывной в точке , если

 

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция , определенная на интервале называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция , определенная на отрезке () называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , непрерывна справа в точке b и непрерывна слева в точке a.

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано–Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку , где , ,

т.е. .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Точки разрыва

Непрерывность функции в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны , т.е.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

1. и существуют;

2. и конечны;

3. ;

4. .

Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке .

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Сравнение бесконечно малых величин:

- Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е.

;

- Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с , если предел отношения к равен нулю, т.е. ;

- Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е. ;

- Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. .

Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность

важное понятие математического анализа. Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что | f (x ₁) — f (x ₂)|<ε для любой пары чисел x ₁ и x ₂ из данного множества, удовлетворяющей условию | x ₁ —x ₂|< δ (ср. Непрерывная функция).Например, функция f (x) = x ² равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если

x₁ ≤ 1, 0 ≤ x₂ ≤ 1 обязательно |x₁ + x₂|≤ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

Так, например, функция непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при ε = 1 для любого δ > 0 (δ < 1) мы имеем удовлетворяющие неравенству |x₁ — x₂| < δ числа x₁ = и x₂= δ, для которых

Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.