Определение и смысл производной

Понятие производной является одним из основных понятий дифференциального исчисления, производная используется при исследовании процессов, в том числе и экономических, описываемых функциями. При исследовании приращения зависимой величины , обусловленного приращением независимой переменной , часто возникает необходимость определения предела отношения этих величин . Этот предел называется производной, а операция его вычисления – дифференцированием функции.

Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

Геометрический смысл производной.

Пусть L – некоторая кривая,M0 – точка на кривой L.

Любая прямая, пересекающая L не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой Lв точке M0 называется предельное положение секущей M0M1, если точка M1 стремится к M0, двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке M0существует, то она единственная

Правила дифференцирования

Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:

1.Функция дифференцируема и ;

2.Если ‑ постоянная, то функция дифференцируема и ;

3.Из 1 и 2 следует, что ;

4.Функция дифференцируема и ;

5.Из 4 следует, что ;

6.Если определена и диф-ма, то .

Таблица производных

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования. Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

; ; ;

; ;

; ;

; ;

;

.

Дифференциал и его применения. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков

Если функция , определенная в , имеет производную во всех точках , то эту производную можно рассматривать как новую функцию , .

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если , определенная в , имеет конечную производную в точке , то значение этой производной является второй производной функции .

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

21.Свойства функций, дифференцируемых на отрезке. Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.^[1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.^[2][3]