Векторы. Линейные операции над ними. Зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении.

Векторы. Линейные операции над ними. Зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении.

Вектором наз. направленный отрезок опред-ся длиной и направлением в пространстве,

Линейные операции над векторами

1) Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы и сносятся в общую точку на них строят параллелограмм и его диагональ называют суммой векторов и

2)Разностью двух векторов и , отложенных от одной точки является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен , где ‑ некоторое число, если:

1. коллинеарен ;

2.длина вектора отличается от длины вектора в раз,

при , и направлены в одну сторону, при ‑ в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ; 3.

4. .

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4.3)

следует, что .

В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Колинеальные векторы всегда линейно зависимы

Если среди векторов есть хоть один нулевой вектор, но они линейно зависимы

Если среди векторов есть несколько линейно зависимых, то векторы будут линейно зависимы

Векторы параллельные одной плоскости -компланарные

Если 3 вектора не нулевые и не компланарны, то они линейно не зависимы

Любые 4 вектора линейно зависимы, если есть среди них 3 компланарых

Базис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат , третья – осью аппликат ; точка ‑ начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям . Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

2.Различные формы произведения векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

Скалярное произведение

Скалярными произведением (a,b) двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ;

3. ;

Если и ‑ ненулевые векторы, то (a,b)=0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если (a,b)>0, то угол между и - острый, если (a,b)<0, то угол - тупой;

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. . Следовательно, .

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор [ ], длина и направление которого определяется условиями:

1. , где ‑ угол между и ;

2. перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. 3.

2.

Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда и коллинеарны. В частности, для любого вектора ;

Если и неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если рассматриваемые векторы , и некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор , то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов (которое обозначается ) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Знак произведение положителен, если векторы , и , образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов , и : для того, чтобы векторы , и были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля.

Определение.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Определение.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Определение.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов.

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Для 3-х векторов.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов.

Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

 

3.Определители второго и третьего порядка и их свойства. Определители n- го порядка и их свойства.

Определители 2-ого и 3-его порядка это число.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом

Операции над матрицами

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1.Коммутативность, т.е. .

2.Ассоциативность, т.е. .

3.Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ; 3. ;

4. (ассоциативность);

5. (дистрибутивность);

6. (дистрибутивность).

Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

1.Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то ‑ ассоциативность умножения;

2. ‑ свойство дистрибутивности;

3.Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

Обратная матрица

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А ^1 , так что В = А ^1 . Обратная матрица вычисляется по формуле где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы A обозначают .

Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .

Метод Гаусса

Метод Гаусса основан на теореме: если к некоторому уравнению системы прибавить другое уравнение этой системы, умноженное на любое действительное число, или умножить любое уравнение системы на отличное от нуля действительное число, то полученная система будет эквивалентна исходной.

Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных, осуществляя его за несколько итераций. На каждой итерации выбирается разрешающее уравнение и базисное неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы, которое ранее не было выбрано разрешающим и не все коэффициенты которого равны нулю. За базисное неизвестное выбирают неизвестное, коэффициент при котором в разрешающем уравнении, называемый разрешающим коэффициентом, не равен нулю.

Алгоритм метода следующий:

1.Выбирают разрешающее уравнение и базисное неизвестное.

2.Делят обе части разрешающего уравнения на разрешающий коэффициент и исключают базисное неизвестное из всех уравнений системы, кроме разрешающего. Отбрасывают, если они появились, уравнения, все коэффициенты и свободный член в котором равны нулю. Если получилось уравнение, в котором коэффициенты нулевые, а свободный член не нуль, то система несовместна, конец. Если таких уравнений нет, то шаг 1. Если все уравнения были использованы в качестве разрешающих, то шаг 3.Если нет, то шаг 1.

4.Базисные неизвестные оставляют слева, а небазисные (назовем их свободными, так как они могут принимать любые значения) переносят вправо.

Норма вектора

Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:

1.

2. (неравенство треугольника);

3.

Эти условия являются аксиомами нормы.

Из 3 получаем, что

Теперь из 2 получаем

. Таким образом, .

Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой () называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Канонический вид матрицы. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию.

В евклидовом пространстве для оператора 9 определяется сопряженный оператора 10 той же формулой 11 при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора 12 в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора 13 При продолжении взаимно сопряженных операторов 14 с S на 15 они останутся сопряженными.

Действительно,

Нормальный оператор 16 в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию 17 пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.

Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса 18 определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.

Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению 19 при 20 базис из собственных векторов для собственного значения 21 можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и 22 сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.

Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства.

Понятие квадратичной формы

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.

Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой (, при ), если такое, что при .

Говорят, что предел последовательности равен , если для такое, что выполняется неравенство: .

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь предела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величина не имеет определенного стремления.

Свойства пределов:

Пределы обладают следующими свойствами:

- Если – есть постоянная функция, то ;

- Если существуют , и в некоторой окрестности точки функция ограничена, т.е. , тогда ;

- Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

- Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;

- Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии);

- Если и существуют , и , то .

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Число «e» — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Непрерывность функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке Пусть . Функция называется непрерывной в точке , если

 

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция , определенная на интервале называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция , определенная на отрезке () называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , непрерывна справа в точке b и непрерывна слева в точке a.

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано–Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку , где , ,

т.е. .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Точки разрыва

Непрерывность функции в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны , т.е.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

1. и существуют;

2. и конечны;

3. ;

4. .

Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке .

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Сравнение бесконечно малых величин:

- Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е.

;

- Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с , если предел отношения к равен нулю, т.е. ;

- Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е. ;

- Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. .

Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица произво