![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Векторы. Линейные операции над ними. Зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Векторы. Линейные операции над ними. Зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении. Вектором наз. направленный отрезок опред-ся длиной и направлением в пространстве, Линейные операции над векторами 1) Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы 2)Разностью двух векторов Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры). Вектор 1. 2.длина вектора при Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами: 1. 4. Линейная зависимость векторов Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:
следует, что В противном случае векторы Колинеальные векторы всегда линейно зависимы Если среди векторов есть хоть один нулевой вектор, но они линейно зависимы Если среди векторов есть несколько линейно зависимых, то векторы будут линейно зависимы Векторы параллельные одной плоскости -компланарные Если 3 вектора не нулевые и не компланарны, то они линейно не зависимы Любые 4 вектора линейно зависимы, если есть среди них 3 компланарых Базис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс
2.Различные формы произведения векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов. Скалярное произведение Скалярными произведением (a,b) двух векторов Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1. 3. Если Скалярный квадрат вектора Векторное произведение Векторным произведением вектора 1. 2. 3. Векторное произведение обладает следующими свойствами: 1. 2. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда Если Смешанное произведение Смешанным произведением тройки векторов Таким образом, смешанное произведение векторов
Знак произведение положителен, если векторы Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов Определение. Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий: Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные. Условия компланарности векторов Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю. Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы. Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
3.Определители второго и третьего порядка и их свойства. Определители n- го порядка и их свойства. Определители 2-ого и 3-его порядка это число. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом Операции над матрицами Суммой двух матриц Сложение матриц обладает следующими свойствами: 1.Коммутативность, т.е. 2.Ассоциативность, т.е. 3.Для любых двух матриц Произведением матрицы Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами: 1. 4. 5. 6. Матрица Свойства умножения: 1.Если матрица 2. 3.Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, Обратная матрица Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А 1 , так что В = А 1 . Обратная матрица вычисляется по формуле
Вычисление обратной матрицы по формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы. Ранг матрицы Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы A обозначают Если все миноры порядка Если все миноры первого порядка (элементы матрицы Метод Гаусса Метод Гаусса основан на теореме: если к некоторому уравнению системы прибавить другое уравнение этой системы, умноженное на любое действительное число, или умножить любое уравнение системы на отличное от нуля действительное число, то полученная система будет эквивалентна исходной. Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных, осуществляя его за несколько итераций. На каждой итерации выбирается разрешающее уравнение и базисное неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы, которое ранее не было выбрано разрешающим и не все коэффициенты которого равны нулю. За базисное неизвестное выбирают неизвестное, коэффициент при котором в разрешающем уравнении, называемый разрешающим коэффициентом, не равен нулю.
Алгоритм метода следующий: 1.Выбирают разрешающее уравнение и базисное неизвестное. 2.Делят обе части разрешающего уравнения на разрешающий коэффициент и исключают базисное неизвестное из всех уравнений системы, кроме разрешающего. Отбрасывают, если они появились, уравнения, все коэффициенты и свободный член в котором равны нулю. Если получилось уравнение, в котором коэффициенты нулевые, а свободный член не нуль, то система несовместна, конец. Если таких уравнений нет, то шаг 1. Если все уравнения были использованы в качестве разрешающих, то шаг 3.Если нет, то шаг 1. 4.Базисные неизвестные оставляют слева, а небазисные (назовем их свободными, так как они могут принимать любые значения) переносят вправо. Норма вектора Норма в векторном пространстве 1. 2. 3. Эти условия являются аксиомами нормы. Из 3 получаем, что
Любой ненулевой вектор Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Канонический вид матрицы. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию. В евклидовом пространстве для оператора 9 определяется сопряженный оператора 10 той же формулой 11 при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора 12 в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора 13 При продолжении взаимно сопряженных операторов 14 с S на 15 они останутся сопряженными. Действительно, Нормальный оператор 16 в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию 17 пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А. Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса 18 определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения. Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению 19 при 20 базис из собственных векторов для собственного значения 21 можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и 22 сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.
Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства. Понятие квадратичной формы Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому Квадратичной формой Бесконечный предел Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому Говорят, что предел последовательности В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь предела. Например, Свойства пределов: Пределы обладают следующими свойствами: - Если - Если существуют - Если существуют - Если существуют - Если существуют - Если Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей. Число «e» — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики. Непрерывность функции Рассмотрим функцию
Функция Функция Функция Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция Теорема (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция т.е. Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция Точки разрыва Непрерывность функции Если условие (4) не выполнено, то точку 1. 2. 3. 4. Если 1. не выполнено, то Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то Если функция Сравнение бесконечно малых величин: - Две бесконечно малые величины
- Величина - Величина - Две бесконечно малые величины Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица произво |
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 414; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.235.52 (0.016 с.) |