Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

Элементы векторной алгебры

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами

 

Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором.

Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê .

Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ­­ ( ­¯ ).

Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ­­ , ï ï=ï ï.

Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов:

1) , 2) , 3) и .

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора .

Обозначение:

.

Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма.

Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е.

= , = .

Справедливы следующие свойства умножения вектора на число:

1) =l +l ; 2) = l + m ; 3) l = ,

справедливые для любых чисел и любых векторов , .

 

Декартова прямоугольная система координат.

Скалярное произведение векторов.

Векторное произведение двух векторов.

Смешанное произведение трех векторов.

Виды уравнений прямой и плоскости в декартовой системе координат

Общее уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Это уравнение называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных и возможны следующие частные случаи:

- – прямая проходит через начало координат;

- - прямая параллельна оси ;

- – прямая параллельна оси ;

- – прямая совпадает с осью ;

- – прямая совпадает с осью .

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

 

Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с координатами перпендикулярен прямой, заданной уравнением Он называется нормальным вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Для и уравнение прямой примет вид: . Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем . Следовательно . Искомое уравнение запишется в виде .

 

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения разделить на число , называемое нормирующем множителем, то получим

–

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя следует выбирать так, чтобы где – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой Записать различные типы уравнений этой прямой. Уравнение этой прямой в отрезках:

или

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5):

нормальное уравнение прямой:

;

Заметим, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Уравнение прямой имеет вид: , Значение не подходит по условию задачи. Следовательно, или

 

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

Элементы векторной алгебры

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами

 

Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором.

Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê .

Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ­­ ( ­¯ ).

Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ­­ , ï ï=ï ï.

Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов:

1) , 2) , 3) и .

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора .

Обозначение:

.

Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма.

Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е.

= , = .

Справедливы следующие свойства умножения вектора на число:

1) =l +l ; 2) = l + m ; 3) l = ,

справедливые для любых чисел и любых векторов , .