Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры Элементы векторной алгебры 1. Определение вектора. Линейные операции над векторами
Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец. Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или . Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê . Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ( ¯ ). Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если , ï ï=ï ï. Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов: 1) , 2) , 3) и . Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору . Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора . Обозначение: . Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма. Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату. Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям: Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е. = , = . Справедливы следующие свойства умножения вектора на число: 1) =l +l ; 2) = l + m ; 3) l = , справедливые для любых чисел и любых векторов , .
Декартова прямоугольная система координат. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов. Виды уравнений прямой и плоскости в декартовой системе координат Общее уравнение прямой на плоскости Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Это уравнение называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных и возможны следующие частные случаи: - – прямая проходит через начало координат; - - прямая параллельна оси ; - – прямая параллельна оси ; - – прямая совпадает с осью ; - – прямая совпадает с осью . Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и нормальному вектору В декартовой прямоугольной системе координат вектор с координатами перпендикулярен прямой, заданной уравнением Он называется нормальным вектором прямой. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Для и уравнение прямой примет вид: . Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем . Следовательно . Искомое уравнение запишется в виде .
Нормальное уравнение прямой Если обе части уравнения разделить на число , называемое нормирующем множителем, то получим – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя следует выбирать так, чтобы где – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. Пример. Дано общее уравнение прямой Записать различные типы уравнений этой прямой. Уравнение этой прямой в отрезках: или уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5): нормальное уравнение прямой: ; Заметим, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат. Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2. Уравнение прямой имеет вид: , Значение не подходит по условию задачи. Следовательно, или
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры Элементы векторной алгебры 1. Определение вектора. Линейные операции над векторами
Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец. Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или . Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê . Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ( ¯ ). Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если , ï ï=ï ï. Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов: 1) , 2) , 3) и . Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору . Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора . Обозначение: . Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма. Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату. Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям: Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е. = , = . Справедливы следующие свойства умножения вектора на число: 1) =l +l ; 2) = l + m ; 3) l = , справедливые для любых чисел и любых векторов , .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 289; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.56.233 (0.009 с.) |