Векторная функция скалярного аргумента

и её дифференцирование.

Одним из наиболее простых способов задания пространственной кривой является задание векторного уравнения:

(1) ,

где - радиус-вектор точки кривой, а - параметр, определяющий положение точки.

Т.о. переменный вектор есть функция скаляра . Такие функции в математическом анализе называют векторными функциями скалярного аргумента.

Разлагая по ортам, уравнению (1) можно придать вид:

(2)

Это разложение даёт возможность перейти к параметрическому уравнению кривой:

(3)

Другими словами, задание векторной функции равносильно заданию трёх скалярных.

По отношению к векторной функции (1), определяющему данную кривую, сама кривая называется годографом этой функции. Начало координат называют в этом случае полюсом годографа.

Пусть теперь и - точки кривой, определяемой уравнением (1). Причём , а Радиус-векторы этих точек будут

и .

Вектор называют приращением векторной функции , соответствующее приращению её аргумента, и обозначают через ,

.

Векторная функция будет непрерывной функцией , если

.

Для нахождения производной от поступим следующим образом –

.

Установим теперь направление . Очевидно, что коллинеарен с и при направлен в ту же сторону, что и а при - в противоположную сторону. Но в первом случае а во втором Т.о. вектор всегда направлен по секущей годографа в сторону возрастания .

Если воспользоваться разложением и по ортам, то

(*) где

Отсюда деля (*) на и переходя к пределу для получим

(4)

Опираясь на (4), можно показать, что справедливы следующие формулы:

(5)

(6) - скалярная функция.

(7)

(8)

Доказательство (7).

Ч.Т.Д.

Исследуем теперь некоторые свойства . Прежде всего найдём его модуль:

.

Далее

Т.к. мы считаем дугу годографа спрямляемой, то тогда - есть длина хорды, а - длина дуги. Поэтому

Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу.

Следствие 1. Если - единичный вектор, направленный по касательной к годографу в сторону увеличения , то

Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то

(т.к. )

Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги.

Следствие 3. Если годограф векторной функции рассматривать как траекторию движения точки, а - как время движения, отсчитываемое от некоторого , то по величине и направлению совпадает с вектором скорости движения .

В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени:

Кроме того, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения, что соответствует направлению возрастания , т.е. соответствует направлению .

Т.о. .

Рассмотрим теперь , длина которого постоянна, , т.е.

(*) где

Дифференцируя (*), найдём:

, т.е.

В частности, производный вектор от любого переменного по направлению единичного всегда .

Пусть теперь угол между радиусами единичной сферы, проведёнными в точки и годографа . Тогда длина хорды из треугольника будет равна

Модуль производной от единичного переменного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора.

Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде

Но и тогда

 

Кривизна пространственной кривой.

Сопровождающий трёхгранник.

Согласно следствию 2, для можно записать формулу:

Изменение направления , связанное с изменением касательной к пространственной кривой, характеризует кривизну кривой. За меру кривизны пространственной кривой, как и для плоской, принимают предел отношения угла смежности к длине дуги, когда

кривизна, угол смежности, длина дуги.

С другой стороны, единичный вектор и производный к нему вектор перпендикулярен к нему, а его модуль Дифференцируя по и вводя единичный вектор с направлением , найдём:

Вектор вектор кривизны пространственной кривой. Его направление, перпендикулярное к направлению касательной, является направлением нормали пространственной кривой. Но пространственная кривая имеет в любой точке бесчисленное множество нормалей, которые все лежат в плоскости, проходящей через данную точку кривой и перпендикулярно к касательной в данной точке. Эту плоскость называют нормальной плоскостью пространственной кривой.

Определение. Нормаль кривой, по которой направлен вектор кривизны кривой в данной точке – главная нормаль пространственной кривой. Т.о. единичный вектор главной нормали.

Построим теперь третий единичный вектор равный векторному произведению и

Вектор , как и также перпендикулярен т.е. лежит в нормальной плоскости. Его направление называют направлением бинормали пространственной кривой в данной точке. Вектора и составляют тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов, направление которых зависит от положения точки на пространственной кривой и изменяется от точки к точке. Эти вектора образуют т.н. сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) пространственной кривой. Вектора и образуют правую тройку, так же как и единичные орты в правой системе координат.

Взятые попарно определяют три плоскости, проходящие через одну и ту же точку на кривой и образуют грани сопровождающего трехгранника. При этом и определяют соприкасающую плоскость (б.м. дуга кривой в окрестности данной точки есть дуга плоской кривой в соприкасаемой плоскости с точностью до б.м. высшего порядка);

и - спрямляющая плоскость;

и - нормальная плоскость.

 

Уравнения касательной, нормали и бинормали.

Уравнения плоскостей сопровождающего трехгранника.

Зная и , или любые коллинеарные им неединичные вектора T, N и B выведем уравнения, поименованные в этом параграфе.

Для этого в каноническом уравнении прямой

и в уравнении плоскости, проходящей через данную точку

принять за координаты выбранной на кривой точки, за или соответственно за принять координаты того из векторов или , который определяет направление искомой прямой или нормали к искомой плоскости:

или - для касательной или нормальной плоскости,

или - для главной нормали и спрямляющей плоскости,

или - для бинормали и соприкасающейся плоскости.

Если кривая задана векторным уравнением или то за вектор направленный по касательной можно принять

(1)

Для нахождения и найдём сначала разложение по векторам Ранее (следствие 1) мы нашли, что Дифференцируя по , получим:

Но, т.к.

Перемножим теперь векторно и

(*)

На основании (*) за вектор , имеющий направление бинормали, можнл взять вектор

Но тогда, за можно принять векторное произведение этих последних:

Т.о. в любой точке произвольной кривой мы можем определить все элементы сопроводдающего трехгранника.

Пример. Уравнение касательной, нормали и бинормали к правой винтовой линии в любой точке.

Касательная

Главнвя нормаль

Бинормаль