Исследование функции на экстремум

Исследование функции на экстремум

с помощью второй производной.

Пусть при производная от обращается в нуль, т.е. . Пусть, кроме того, и непрерывна в окрестности . Тогда справедлива

Теорема. Пусть , тогда при имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Т.к. непрерывна, то малый отрезок, содержащий , во всех точках которого .

Т.к. убывает на выбранном отрезке . Но , при и при . Т.е. при переходе через меняет знак с “+” на “-“, а это значит, что имеет в .

Пусть теперь в окрестности . Т.к. при и при . Т.о., при переходе через изменяет знак с “-” на “+“, т.о. мы имеем в .

Если в , то в этой точке может быть max, min, или не быть ни того ни другого. В этом случае исследование функции надо вести первым способом (т.е. исследовать знак первой производной).

Схема исследования.

		Крит. точка
	<0, “ – “	max
	>0, “+”	min
		неизвестно

Пример:

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть непрерывна на [ a, b ]. Тогда она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений.

Предположим, что имеет на [ a, b ] конечное число критических точек. Если , где - точка max (одного из), точнее – наибольший max. Однако может случиться, что sup достигается на одном из концов отрезка.

Итак, достигает sup либо в одной из точек max, либо на концах отрезка.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении : оно достигается либо на конце (концах) отрезка, либо во внутренней точке, является точкой min.

Итак, если требуется найти наибольшее (наименьшее) значение непрерывной , то необходимо:

1) Найти все max (min) на отрезке [ a, b ]

2) Вычислить значения при

3) Из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример. . Найти supr и inf на

 

Формула Тейлора

Предположим, что имеет все произвольные до n+1 –го порядка включительно в окрестности . Найдём многочлен степени не выше n, такой, что , а , где : Итак

(1)

Естественно предположить, то «близок» к в некотором смысле.

Будем искать в форме многочлена по степеням с неопределёнными коэффициентами:

(2)

будем искать из условия (1). Предварительно найдём производные от

(3)

Подставляя теперь вместо и заменяя на , согласно (1), получим:

Подставляя теперь вместо в получим

(5)

Обозначим теперь через разность между :

и тогда или в развёрнутом виде

(6)

называют остаточным членом. Для тех значений , для которых мал, даёт приближённое представление .

Т.о. (6) даёт возможность заменить многочленом с точностью, определяемой .

Следующая задача – оценить при различных . Запишем в форме

,

где - некоторая функция, которую нужно определить. При фиксированных и имеет определённое значение .

Рассмотрим далее вспомогательную функцию от

Далее найдём

После сокращения получим

(*)

Итак, имеет производную для , причём и . Поэтому к применима т. Ролля: , в которой . Отсюда и из (*) следует, что

или

и тогда

остаточный член в форме Лагранжа. Т.к. заключено между и , то его можно представить в виде , где , и тогда можно записать в виде:

Формула

называется формулой Тейлора для .

Если в формуле Тейлора положить , то

(**) .

Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.

 

Разложение по формуле Тейлора функций

1. . В первую очередь найдём значения при

Подставляя эти значения в формулу (**) Маклорена, получим

, где .

Если , то взяв , получим оценку остаточного члена

При , получается формула, позволяющая найти приближённое значение числа :

Здесь ошибка не превосходит или .

Отметим, что для остаточный член при .

Действительно

Т.к. - фиксированное число, . Введём обозначение При , и т.д., можно написать

Но есть const, не зависящая от n, а при

Следовательно, и

Т.о. для мы можем вычислить с любой степенью точности, взяв достаточно большое n.

2.

Подставляя теперь эти значения в формулу Тейлора, получим

.

Т. к .

Применим полученную формулу для , положив .

Оценим теперь остаточный член:

Следовательно, ошибка меньше чем или с точностью до .

3. .

,

(х – в радианах).

 

Исследование функции на максимум и минимум

С помощью формулы Тейлора.

Ранее мы показали, что если при может быть либо max, либо min, либо нет ни того, ни другого. Покажем, как в это случае может быть использована формула Тейлора.

Предположим, что при x=a

(1)

Пусть также f(x) имеет непрерывные производные до (n+1) -го порядка включительно в окрестности x=a. Запишем для f(x) формулу Тейлора, учитывая (1):

(2)

Т.к. непрерывна в окрестности x=a и , что при . При этом, если то и во всех точках интервала будет и если и . Перепишем (2) в виде:

(2’)

и рассмотрим различные возможные случаи.

1. n – нечётное

а) . Тогда в интервале , и т.к. . Т.к. чётное число и правая часть (2’) <0. Следовательно, точка максимума .

б) , т.к. точка минимума .

2. n – чётное

Тогда n+1 – нечётное, и имеет разные знаки при и .

Если h достаточно мало по модулю, то -я производная сохраняет знак во всех точках . Следовательно, имеет разные знаки при и , а это означает, что в нет ни максимума, ни минимума .

Таким образом, если при имеем: , и первая не обращающаяся в 0 производная есть производная чётного порядка, то в

имеет максимум, если и

имеет минимум, если .

Если же есть производная нечётного порядка, то не имеет ни максимума, ни минимума при . При этом

убывает, если

возрастает, если .

Пример. , найти максимум, минимум.

1) Критические точки

, порядок чётный и минимум .

 

Точки перегиба.

Рассмотри кривую , которая является графиком однозначной, дифференцируемой функции .

Определение 1. Будем говорить, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой касательной, проведенной к любой точке из этого интервала.

Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все её точки лежат выше любой её касательной на .

Кривая, обращённая выпуклостью вверх, называется выпуклой, а обращённая выпуклостью вниз – вогнутой.

В этом разделе мы установим признаки, которые позволяют судить о направлении выпуклости графика на различных интервалах определения .

Теорема 1. Если кривая выпукла на .

Доказательство. Пусть . Проведём касательную к графику в точке с абсциссой . Теорема будет доказана, если все точки будут лежать ниже этой касательной. Т.е. ордината будет меньше ординаты у касательной при одном и том же значении .

Как установлено ранее, уравнение касательной в точке имеет вид:

или

.

Нас интересует знак разности , которую можно записать в виде:

.

Применяя т. Лагранжа к разности мы можем записать:

(где С лежит между и ), или

,

и к разности производных опять применим ту же теорему

, между и .

Рассмотрим теперь случай . Тогда ; т.к. и и по условию теоремы , т.е. Теорема 1 доказана.

Пусть теперь , тогда . В этом случае и , но .

Таким образом мы доказали, что и ордината касательной больше ординаты графика , а это означает, что кривая выпукла, Теорема 1 доказана.

Аналогично доказывается и Теорема 1’.

Теорема 1’. Если , то кривая вогнута на .

Геометрическая интерпретация.

есть - угла наклона касательной в точке с абсциссой . Поэтому Если убывает при возрастании .

Если же возрастает при возрастании .

Пример: установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

- кривая выпукла.

- кривая вогнута.

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба этой кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.

Сформулируем теперь достаточные условия того, что данная точка является точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если , или не существует, и при переходе через меняет знак, то точка кривой с есть точка перегиба.

Доказательство. 1) при и

при .

Тогда, при кривая выпукла, а при - вогнута. Следовательно, есть точка перегиба.

2) Пусть теперь при и при , тогда при кривая вогнута, а при - выпукла. Следовательно, точка есть точка перегиба.

Пример.

(кривая Гаусса)

- нет точек перегиба

, но при не существует.

Асимптоты.

Довольно часто требуется исследовать форму кривой при неограниченном возрастании . Важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении её переменной точки в бесконечность (т.е. при расстояния от начала координат до этой точки) неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю.

Различают вертикальные асимптоты – т.е. параллельные OY, горизонтальные – т.е. параллельные OX и наклонные, т.е. не параллельные OY или OX.

I. Вертикальные асимптоты. Из определения следует, что если

,

то прямая есть асимптота кривой , и обратно, что если есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для нахождения вертикальных асимптот нужно найти такие , чтобы при . Тогда и будет асимптотой.

Пример. , - асимптота, т.к. , .

- б.м. вертикальных асимптот, ,

т.к. при .

II. Наклонные асимптоты. Пусть имеет наклонную асимптоту

(1) .

Определим коэффициенты и . Пусть и . расстояние от до . По условию

(2)

Пусть - угол наклона к оси из ; т.к. , то

(2’) .

При этом из (2) (2’) и наоборот. С другой стороны,

и (2’) приобретает вид:

(3) .

Итак, если (1) есть асимптота, то выполняется (3) и, наоборот, если выполняется (3), то (1) – уравнение асимптоты.

Определим теперь и . Вынося за скобки, получим

Т.к. или

Зная теперь можно найти и из (3)

Итак, если есть асимптота,

(*)

Обратное также справедливо. Если существуют пределы (*), то есть асимптота. Если же хотя бы один из пределов не существует, то асимптоты не имеет.

Пример.

1) Найдём вертикальные асимптоты:

- вертикальная асимптота.

2) Ищем наклонные асимптоты:

- асимптота.

Пример. , вертикальных нет,

при ,

при асимптоты нет.

 

Общий план исследования функций

И построения графиков.

Под «исследованием функции» обычно понимается нахождение:

1) естественной области существования функции;

2) точек разрыва функции; нули функции?

3) интервалов возрастания и убывания функции;

4) точек максимума и минимума и экстремальных значений функции;

5) областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;

6) асимптот графика функции.

На основании проведённого исследования строится график. Целесообразно помечать элементы графика параллельно с исследованием.

Замечание 1. Если - чётная, т.е. достаточно исследовать и строить её график для ОДЗ, т.к. график симметричен OY.

Замечание 2. Если - нечётная, т.е. также достаточно провести исследование для . График симметричен относительно начала координат.

Замечание 3. Т.к. одни свойства функции могут определять другие, то порядок исследования можно изменять, исходя из конкретного вида исследуемой функции. Например, если непрерывна и дифференцируема и найдены точки максимума и минимума, то тем самым определены области убывания и возрастания.

Пример. Исследовать и построить её график.

 

Кривизна плоской кривой.

Сравним между собой 2 кривые: и - имеющие в точке одну и ту же касательную. Пусть и , лежащие на и имеют одну и ту же абсциссу. Очевидно, что более искривлённой является кривая , т.к. касательная к ней при переходе от к поворачивается на больший угол . С другой стороны, при одинаковом угле поворота касательной более искривлена та дуга, длина которой меньше, т.е. кривая .

Т.о. можно принять, что мера кривизны конечного участка гладкой (дифференцируемой) кривой должна быть прямо пропорциональна углу, на который поворачивается касательная при переходе от начальной точки дуги к конечной и обратно пропорциональна длине этой дуги. Поэтому, за меру кривизны конечной дуги (средняя кривизна) можно принять отношение угла поворота касательной к длине дуги. Пусть - средняя кривизна, - угол смежности, на который поворачивается касательная при переходе от к и - длина дуги. Тогда

.

Применим это определение к окружности радиуса . Для неё равен углу между радиусами и

.

Т.к. длина дуги .

Т.о. кривизна любой дуги окружности есть const .

Вывод естественный: любая дуга при перемещении её по окружности всеми точками будет лежать на окружности. При этом с уменьшением R кривизна будет возрастать.

Для кривых только для окружности и для прямой (0). Для других кривых, вероятно, кривизна – переменная величина. Она различна для дуг разной длины с общей точкой и зависит от положения на кривой.

Поэтому, естественно от понятия средней кривизны на данном участке перейти к понятию кривизны кривой в данной точке, совершая предельный переход при . За меру кривизны кривой в точке примем предел, к которому стремится средняя кривизна дуги, имеющей начало в заданной точке, когда длина .

.

Определение. Кривизна кривой в точке есть производная от угла поворота касательной к кривой по длине дуги. При этом угол поворота касательной можно измерять разностью углов касательных с осью, например, Х.

Выводим теперь формулу для вычисления кривизны кривой в любой её точке. Пусть - угол касательной с ОХ. Тогда , а т.к.

.

Если не учитывать направление вогнутости кривой, то

.

Построим теперь окружность, которая имеет общую касательную с кривой в точке, общую кривизну и направление выгнутости. Такую окружность окружностью кривизны, её радиус – радиусом кривизны, а её центр – центром кривизны.

Т.к. кривизна окружности обратна её R, то для радиуса кривизны получим

(*) - радиус кривизны.

Центр кривизны лежит на нормали со стороны вогнутости кривой, на расстоянии от данной точки на кривой.

Рисунок соответствует случаю .

или

.

 

 

Но

(**) - координаты центра кривизны.

Т.к. и являются функциями , то при изменении (как параметра) мы будем получать некоторую кривую, на которой лежат центры кривизны кривой .