Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть непрерывна на [ a, b ]. Тогда она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений.

Предположим, что имеет на [ a, b ] конечное число критических точек. Если , где - точка max (одного из), точнее – наибольший max. Однако может случиться, что sup достигается на одном из концов отрезка.

Итак, достигает sup либо в одной из точек max, либо на концах отрезка.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении : оно достигается либо на конце (концах) отрезка, либо во внутренней точке, является точкой min.

Итак, если требуется найти наибольшее (наименьшее) значение непрерывной , то необходимо:

1) Найти все max (min) на отрезке [ a, b ]

2) Вычислить значения при

3) Из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример. . Найти supr и inf на

 

Формула Тейлора

Предположим, что имеет все произвольные до n+1 –го порядка включительно в окрестности . Найдём многочлен степени не выше n, такой, что , а , где : Итак

(1)

Естественно предположить, то «близок» к в некотором смысле.

Будем искать в форме многочлена по степеням с неопределёнными коэффициентами:

(2)

будем искать из условия (1). Предварительно найдём производные от

(3)

Подставляя теперь вместо и заменяя на , согласно (1), получим:

Подставляя теперь вместо в получим

(5)

Обозначим теперь через разность между :

и тогда или в развёрнутом виде

(6)

называют остаточным членом. Для тех значений , для которых мал, даёт приближённое представление .

Т.о. (6) даёт возможность заменить многочленом с точностью, определяемой .

Следующая задача – оценить при различных . Запишем в форме

,

где - некоторая функция, которую нужно определить. При фиксированных и имеет определённое значение .

Рассмотрим далее вспомогательную функцию от

Далее найдём

После сокращения получим

(*)

Итак, имеет производную для , причём и . Поэтому к применима т. Ролля: , в которой . Отсюда и из (*) следует, что

или

и тогда

остаточный член в форме Лагранжа. Т.к. заключено между и , то его можно представить в виде , где , и тогда можно записать в виде:

Формула

называется формулой Тейлора для .

Если в формуле Тейлора положить , то

(**) .

Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.

 

Разложение по формуле Тейлора функций

1. . В первую очередь найдём значения при

Подставляя эти значения в формулу (**) Маклорена, получим

, где .

Если , то взяв , получим оценку остаточного члена

При , получается формула, позволяющая найти приближённое значение числа :

Здесь ошибка не превосходит или .

Отметим, что для остаточный член при .

Действительно

Т.к. - фиксированное число, . Введём обозначение При , и т.д., можно написать

Но есть const, не зависящая от n, а при

Следовательно, и

Т.о. для мы можем вычислить с любой степенью точности, взяв достаточно большое n.

2.

Подставляя теперь эти значения в формулу Тейлора, получим

.

Т. к .

Применим полученную формулу для , положив .

Оценим теперь остаточный член:

Следовательно, ошибка меньше чем или с точностью до .

3. .

,

(х – в радианах).

 

Исследование функции на максимум и минимум

С помощью формулы Тейлора.

Ранее мы показали, что если при может быть либо max, либо min, либо нет ни того, ни другого. Покажем, как в это случае может быть использована формула Тейлора.

Предположим, что при x=a

(1)

Пусть также f(x) имеет непрерывные производные до (n+1) -го порядка включительно в окрестности x=a. Запишем для f(x) формулу Тейлора, учитывая (1):

(2)

Т.к. непрерывна в окрестности x=a и , что при . При этом, если то и во всех точках интервала будет и если и . Перепишем (2) в виде:

(2’)

и рассмотрим различные возможные случаи.

1. n – нечётное

а) . Тогда в интервале , и т.к. . Т.к. чётное число и правая часть (2’) <0. Следовательно, точка максимума .

б) , т.к. точка минимума .

2. n – чётное

Тогда n+1 – нечётное, и имеет разные знаки при и .

Если h достаточно мало по модулю, то -я производная сохраняет знак во всех точках . Следовательно, имеет разные знаки при и , а это означает, что в нет ни максимума, ни минимума .

Таким образом, если при имеем: , и первая не обращающаяся в 0 производная есть производная чётного порядка, то в

имеет максимум, если и

имеет минимум, если .

Если же есть производная нечётного порядка, то не имеет ни максимума, ни минимума при . При этом

убывает, если

возрастает, если .

Пример. , найти максимум, минимум.

1) Критические точки

, порядок чётный и минимум .