Исследование кривых, заданных параметрами.

Пусть , исследуем аналогично .

1) Вычисляем

и .

2) Для точек кривой, вблизи которых кривая является графиком некоторой функции , вычисляем

.

3) Находим , при которых хотя бы одна из или обращается в нуль или терпит разрыв, следовательно, - критические точки. Затем в любом интервале , (а следовательно, и в любом ) определяем знак и тем самым находим области возрастания и убывания . Это даёт также возможность определить характер точек, соответствующих .

4) Далее находим

и исследуя на знак, определяем направления выпуклости кривой на любом интервале.

Для нахождения асимптот находим такие , что при или или , или и и .

Затем исследование проводится обычным способом. Другие особенности поясним на примерах.

Пример.

(1’)

и опр. для , но в силу периодичности . Тогда и кривая асимптот не имеет.

Далее

(*) при

(**)

На основании (*) и (**) составим таблицу:

 

обл. изм. t	x	y	Знак	убыв., возр.
			-	убыв.
			+	возр.
			-	убыв.
			+	возр.

 

Из таблицы следует, что (1) определяет 2 непрерывных : при и при .

Из (**) следует, что и , т.е. в этих точках касательная к вертикальна. В точках же , т.е. касательная к - горизонтальна. Далее :

при - кривая вогнутая,

при - кривая выпуклая.

(астроида)

 

Элементы дифференциальной геометрии.

Касательная и нормаль к плоской кривой.

Как было показано раньше, уравнение касательной к кривой в точке , которая называется точкой касания, имеет вид:

,

где

Определение. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой .

Используя условие перпендикулярности двух прямых, нетрудно вывести уравнение нормали:

или

.

Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к в точке .

Дифференцируя, получим и .

Уравнение касательной или ,

т.к. .

Уравнение нормали

или

.

Пример 2. Касательная и нормаль к циклоиде:

Касательная и нормаль в точке будут иметь уравнения:

- касательная

- нормаль

Касательная и нормаль кривой, проведённые в , в пересечении с OX образуют . Катеты этого треугольника - и , отрезки и , на которые ордината делит гипотенузу , часто используют в различных вопросах геометрии и получили специальные обозначения и названия:

- длина касательной,

- длина нормали,

- подкасательная,

- поднормаль.

Все эти отрезки лкгко могут быть вычислены через и в точке . В :

.

Поэтому:

или

Знаки модуля введены потому, что и могут быть меньше нуля.

Пример. Доказать, что - поднормаль имеет для всех точек параболы одну и ту же длину.

2. имеет подкасательную - .

.

 

Дифференциал дуги плоской и пространственной кривой.

Определение. Кривые, для которых может быть установлено понятие длины, называются спрямляемыми.

Условие спрямляемости для плоской кривой, заданной заключается в следующем: на спрямляемом участке кривой и должны иметь непрерывные производные по t - и . Аналогично записывается условие спрямляемости и пространственной кривой: непрерывность

Для всякой спрямляемой кривой справедливо геометрическое свойство: предел отношения б.м. дуги кривой к стягивающей её хорде равен 1, при условии, что хорда стягивается в точку. Если длину , а хорды - .

Опираясь на это свойство найдём выражение для дифференциала дуги кривой.

На плоской кривой возьмём 2 точки и которые соответствуют и . Длина хорды . Найдём теперь производную от длины дуги по :

,

т.к. при

и т.к.

Если кривая задана , то принимая за параметр кривой получим , и полагая в (*) получим

.

Если же кривая задана уравнением в полярных координатах , то за параметр можно принять угол , и тогда

.

Примеры. Найти для циклоиды .

Ответ:

Дифференциал дуги пространственной кривой находится аналогично. Отличие состоит в том, что длина хорды , соединяющей и определяется формулой:

.

Пример. Винтовая линия:

Формулам для часто придают вид:

или ,

которые легко получить из предыдущих внося под знак корня и заменяя

.

Дифференциал дуги кривой имеет простой геометрический смысл: он равен длине отрезка касательной от точки касания до точки с абсциссой .

 

Кривизна плоской кривой.

Сравним между собой 2 кривые: и - имеющие в точке одну и ту же касательную. Пусть и , лежащие на и имеют одну и ту же абсциссу. Очевидно, что более искривлённой является кривая , т.к. касательная к ней при переходе от к поворачивается на больший угол . С другой стороны, при одинаковом угле поворота касательной более искривлена та дуга, длина которой меньше, т.е. кривая .

Т.о. можно принять, что мера кривизны конечного участка гладкой (дифференцируемой) кривой должна быть прямо пропорциональна углу, на который поворачивается касательная при переходе от начальной точки дуги к конечной и обратно пропорциональна длине этой дуги. Поэтому, за меру кривизны конечной дуги (средняя кривизна) можно принять отношение угла поворота касательной к длине дуги. Пусть - средняя кривизна, - угол смежности, на который поворачивается касательная при переходе от к и - длина дуги. Тогда

.

Применим это определение к окружности радиуса . Для неё равен углу между радиусами и

.

Т.к. длина дуги .

Т.о. кривизна любой дуги окружности есть const .

Вывод естественный: любая дуга при перемещении её по окружности всеми точками будет лежать на окружности. При этом с уменьшением R кривизна будет возрастать.

Для кривых только для окружности и для прямой (0). Для других кривых, вероятно, кривизна – переменная величина. Она различна для дуг разной длины с общей точкой и зависит от положения на кривой.

Поэтому, естественно от понятия средней кривизны на данном участке перейти к понятию кривизны кривой в данной точке, совершая предельный переход при . За меру кривизны кривой в точке примем предел, к которому стремится средняя кривизна дуги, имеющей начало в заданной точке, когда длина .

.

Определение. Кривизна кривой в точке есть производная от угла поворота касательной к кривой по длине дуги. При этом угол поворота касательной можно измерять разностью углов касательных с осью, например, Х.

Выводим теперь формулу для вычисления кривизны кривой в любой её точке. Пусть - угол касательной с ОХ. Тогда , а т.к.

.

Если не учитывать направление вогнутости кривой, то

.

Построим теперь окружность, которая имеет общую касательную с кривой в точке, общую кривизну и направление выгнутости. Такую окружность окружностью кривизны, её радиус – радиусом кривизны, а её центр – центром кривизны.

Т.к. кривизна окружности обратна её R, то для радиуса кривизны получим

(*) - радиус кривизны.

Центр кривизны лежит на нормали со стороны вогнутости кривой, на расстоянии от данной точки на кривой.

Рисунок соответствует случаю .

или

.

 

 

Но

(**) - координаты центра кривизны.

Т.к. и являются функциями , то при изменении (как параметра) мы будем получать некоторую кривую, на которой лежат центры кривизны кривой .

Определение. Геометрическое место центров кривизны кривой называют её эволютой. Сама же кривая называется эвольвентой по отношению к эволюте.

Пользуясь уравнениями (**) следующие свойства эволюты:

1. Касательная к эволюте в некоторой её точке служит соответствующая этой точке нормаль эвольвенты.

2. Дифференциал дуги эволюты равен дифференциалу радиуса кривизны эвольвенты.