Приближённое решение уравнений.

Интерполирование функций.

 

Действительные корни .

Пусть дано уравнение , где дифференцируемая функция. Требуется найти все действительные корни с заданной точностью.

Графический способ. Приведём к виду где Оба эти уравнения равносильны, т.е. имеют одни и те же корни. Распределение членов выполняется с учётом простоты построения графиков и . Например: где и Для где и

После этого строятся графики и на одной координатной плоскости. Абсциссы точек пересечения этих кривых будут корнями уравнения а следовательно, и т.к. в общей точке и Отсутствие общих точек означает отсутствие действительных корней Т.о. это построение даёт возможность определить число действительных корней и их приближённые числовые значения.

 

В случае (1) мы имеем 2 действительных корня и , в (2) – нет. Зная теперь приближённые значения корней (1) «отделим» точные корни, т.е. построим тесные числовые промежутки в каждом из которых содержится только один точный корень . Предположим, изменяет знак в любом корне. На самом деле это не всегда так, но…

На рис.1 видно, что изменяет знак в т. с «+» на «-», а в - с «-» на «+».

Приближённое значение но значит точное значение Возьмём, например, тогда тогда в промежутке изменяет знак и, будучи непрерывной, обращается в 0 на этом промежутке. Причём только 1 раз, т.к. имеет только 1 отрицательный корень. Следовательно, точный корень Говорят, что «отделён» с помощью этого промежутка.

Приближённое значение но следовательно, Но при в есть точный, единственный корень

Т.о. отделены оба действительных корня Числа –2 и –1 – приближённые значения - по недостатку и избытку соответственно, а 0 и 1 – приближённые значения

Построенные прмежутки можно «сужать» и тогда новые отрезки (границы) будут давать всё более точные приближённые значения корней. Метод деления отрезка пополам.

 

Методы уточнения приближённого корня.

Метод Ньютона (касательных). Пусть имеет корень , отделённый промежутком и пусть дважды дифференцируема на . Рассмотрим график . Проведём в касательную имеющую уравнение Эта касательная пересечёт ОХ в точке с абсциссой Докажем, что если возрастает, т.е и т.е. вогнута. При этих условиях, учитывая, что на получим

Т.к. также возрастает. Из имеем

а по формуле Лагранжа

где а Т.к. т.е.

или Ч.Т.Д.

Следовательно, и поэтому более точное приближение , чем Заменяя на можно повторить эту процедуру и найти

которое находится между и Продолжая процесс, получим последовательность

где (*)

Теорема. Последовательность имеет пределом точный корень уравнения

Доказательство. Т.к. монотонно убывающая, то для и имеет предел Покажем, что

т.е. С – есть корень т.к. единственный корень в

Метод уточнения корня с помощью формулы (*) называют методом Ньютона.

Итак метод Ньютона применим, если в промежутке содержится только 1 корень уравнения не должна иметь экстремумов и точек перегиба, т.е. и Кроме того, график должен пересекать ось Х, т.е. При этих условиях гарантируется существование области , которая распологается слева или справа от , в зависимости от того, где будут одинаковы знаки и

Эти условия являются достаточными. Т.е. рпи их нарушении может случиться так, что корень всё же находится по методу Ньютона.

Оценим теперь абсолютную погрешность го приближения

где конец отрезка который не принадлежит области

По формуле Лагранжа

но

Т.к. знакопостоянна, то монотонно врзрастает или убывает и во всех случаях имеет наименьшее значение в Поэтому, заменяя на и получаем равенство (*).

Если имеет несколько действительных корней, то любой корень уточняется отдельно.

Метод хорд. Пусть точный корень и Если построить хорду , то абсцисса точки пересечения этой хорды с ОХ будет более близко к , чем нулевые приближения и .

Уравнение хорды

полагая получим

или

где

Вычислим теперь и из двух отрезков и выберем тот, на концах которого имеет противоположные знаки, т.е. тот, который содержит Продолжая процесс, получим последовательность при

Абсолютная погрешность го приближения оценивается по формуле

где наименьшее значение на отрезке

По формуле Лагранжа имеем

где

но

Метод итерации. Пусть имеет корень Разрешим относительно

(*)

Пусть и

(А) где

Геометрически эти требования значат, что график должен быть монотонно возрастающим или убывающим в промежутке и притом должен располагаться более «полого» чем биссектриса 1-го координатного угла (если возрастает) и более «полого» чем если убывает.

Приводя к виду (*) мы преобразуем тождество к виду т.е. корнем

будет абсцисса точки , пересечения графика с

Приведение к виду (*) можно выполнить различными способами. Например: : и т.д. Однако нужны только те преобразования, при которых выполняется (А). Подходящий вид находится методом проб. Так для для корня в промежутке вид является неподходящим, т.к. а вид - не удовлетворяет (А), т.к. для

Если условие (А) соблюдается, то метод итераций позволяет вычислить корень с любой точностью. В качестве начального приближения можно выбрать любой из

Метод итераций заключается в следующем:

(*)

Теорема. Если знакопостоянна на и по абсолютной величине строго меньше 1, т.е. где то последовательность (*) при имеет своим пределом точный корень , где

Доказательство. Пусть окрестность симметрична относительно (Этого всегда можно достинуть, зная ). Обозначим её через Составим разности между членами и числом и преобразуем их по формуле Лагранжа, учитывая, что

где

Т.к. т.е. причём ближе к чем Далее

т.е. ещё ближе к чем Продолжая этот процесс получим

Теперь заметим, что т.к. все Поэтому

или

Рассмотрим теперь

т.к.

Ч.Т.Д.

Можно также доказать, что монотонно при и колеблется около при

Абсолютная погрешность го приближения оценивается неравенством:

где

Действительно

­

но

Проверку абсолютной погрешности целесообразно проводить на любом шаге вычислений, если заранее известна величина !

Комбинированный способ уточнения корня. Суть метода заключается в одновременном применении метода хорд и метода касательных на отрезке Метод основан на том, что при выполнении условий применимости метода касательных методы хорд и касательных дают приближения по разные стороны от точного значения. Поэтому после любого шага мы получаем корень с избытком и с недостатком и эти значения могут быть использованы в качестве новых приближений или и дающих новый отрезок выделения.