Пространство затрат и производственная функция

 

Предположим, что фирма производит видов продуктов. Виды продуктов будем обозначать индексом , а их количества - через Технология производства каждого вида продукта требует использования ряда ресурсов в некоторых количествах. Двойными индексами обозначим виды ресурсов, используемых для выпуска продукта вида Пусть Обозначим через - количества этих ресурсов. Следовательно, имеется всего видов ресурсов.

Использование двойной индексации привлекательно с точки зрения информативности (видно, какой ресурс относится к какому продукту), но неудобно чисто технически. Во-первых, усложняется запись формул; во-вторых, увеличивается размерность задачи (т.к. среди могут быть одни и те же наименования) и, в-третьих, такие операции как сложение, вычитание затрат в векторной форме, а также составление уравнений становятся невозможными без дополнительных преобразований индексов (идентификация, упорядочение и т.д.).

Поэтому в дальнейшем виды ресурсов будем обозначать одинарными индексами , их количества - , где Здесь - достаточно большое число (равное сумме . где каждый ресурс считается только один раз). Теперь можно говорить, что для производства видов продуктов фирма использует видов затрат. Это не приводит к недоразумениям, так как в случае неиспользования k -го ресурса для выпуска данного продукта полагаем .

Введем в рассмотрение два вида векторов: - вектор затрат и - вектор выпуска. Положительный ортант

называется пространством затрат. Аналогично определяется пространство выпуска:

.

Для отражения реальных возможностей фирмы в математических моделях часто применяются подмножества и

Технологическая связь между затратами и выпуском описывается с помощью производственной функции.

Определение 3.1. Функция ставящая в соответствие каждому вектору затрат вектор максимального выпуска, который может быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Это определение является определением производственной функции для многопродуктовой фирмы, т.е. векторной производственной функции. Если фирма выпускает только один вид продукта, то производственная функция является скалярной: или

. (3.2.1)

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме: , где A - -матрица параметров (технологическая матрица). В некоторых моделях применяется следующее выражение для производственной функции: , где переменные со знаком «» обозначают затраты, а со знаком «+» - выпуски.

Если в качестве независимых переменных (аргументов) выступают затраты (см. (3.2.1)), то производственную функцию иногда называют функцией выпуска, если же фиксирована величина выпуска , то производственная функция является функцией затрат Таким образом, функция выпуска и функция затрат являются взаимно обратными друг другу функциями.

Применение производственных функций не ограничивается выявлением зависимости затраты-выпуск. Различные приемы математического аппарата позволяют использовать их для вычисления численных характеристик производства, анализа эффективности изменения масштаба производства и технологического прогресса, исследования эластичности производственных факторов, рационального ведения хозяйства, оптимального планирования и прогнозирования вариантов развития фирмы и др.

Поэтому очень важно, чтобы производственная функция объективно отражала моделируемую действительность, т.е. чтобы она удовлетворяла содержательно-логическим и экономическим требованиям. Основными из них являются следующие:

· в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;

· все величины должны иметь отчетливый экономический смысл;

· все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы;

· выпуск продукции без затрат невозможен;

· если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;

· увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Вопрос об адекватном описании экономической реальности на языке производственных функций тесно связан с их математическими свойствами. Для простоты изложения эти свойства приведем для однопродуктового производства, т.е. для производственной функции вида (3.2.1).

1. Монотонность: из и следует

2. Вогнутость: для любых и справедливо неравенство

3. Поведение в начале координат:

4. Однородность: где - масштабное число, - степень однородности.

Если производственная функция дифференцируема по всем аргументам, то свойства 1 и 2 соответственно могут быть заменены следующими неравенствами:

, (3.2.2)

(3.2.3)

Частные производные называются предельными продуктами. Условие (3.2.2), как и свойство 1, означает, что увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Условие (3.2.3) показывает, что увеличение затрат одного вида ресурса (при постоянном уровне затрат других ресурсов) приводит ко все меньшему приросту выпуска. Это свойство в экономической теории называется законом убывающей доходности (отдачи).

Свойство 3 является отражением бездеятельности, так как без затрат нет и выпуска. Свойство 4 описывает реакцию производства на изменение затрат. Параметр показывает масштаб изменения производства (расширения производства - если , сужения производства – если ), а - эффект от изменения масштабов производства. Если , то одновременное увеличение всех факторов в раз приводит к возрастанию объема выпуска больше, чем в раз , т.е. эффект от расширения масштаба производства положителен. При получаем: - выпуск возрастает в той же пропорции, что и затраты. Такие функции называются линейно-однородными (или однородными в первой степени). Если

то говорят о возрастающем (убывающем) доходе от расширения масштаба производства. Заметим, что свойство 4 определено в точке, тогда как свойства 1 и 2 - во всем пространстве затрат.

Таким образом, перечисленные (желательные) свойства производственной функции вполне согласуются с ее определением, так как они касаются только соотношения затраты-выпуск. Действительно, здесь нет никаких требований на бесперебойную работу станков, нормирования движения конвейера и т.д. Поэтому производственная функция, как отображение количественной связи между затратами и выпуском, представляет собой регрессионную модель (см. раздел 2.5). Следовательно, она может быть построена на основе статистических данных и с применением методов математической статистики. Приведем примеры наиболее удачно построенных и потому часто применяемых на практике производственных функций. При этом для простоты будем рассматривать двухфакторную однопродуктовую производственную функцию вида

1. Производственная функция Кобба-Дугласа. Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных, был получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция изначально имела вид:

(3.2.4)

где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда, - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде

Легко проверить, что и

Кроме того, функция (3.2.4) линейно-однородна:

Таким образом, функция Кобба-Дугласа (3.2.4) обладает всеми вышеуказанными свойствами.

Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель (технического прогресса) , где - параметр времени, - постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает «динамический» вид:

где не обязательно , причём показатели степени в функции (3.2.4) имеют смысл эластичности выпуска по капиталу и труду.

2. Производственная функция CES (с постоянной эластичностью замещения) имеет вид:

, (3.2.5)

где - коэффициент шкалы, - коэффициент распределения, - коэффициент замещения, - степень однородности. Если выполнены условия

то функция (3.2.5) удовлетворяет неравенствам (3.2.2) и (3.2.3). С учетом технического прогресса функция CES записывается в виде

.

Название данной функции следует из того факта, что для нее эластичность замещения постоянна (см. раздел 3.3).

3. Производственная функция с фиксированными пропорциями. Эта функция получается из (3.2.5) при и имеет вид:

(3.2.6)

4. Производственная функция затрат-выпуска (функция Леонтьева) получается из (3.2.6) при :

.

Содержательно эта функция задает пропорцию, с помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое для производства одной единицы выпускаемой продукции. Поэтому в литературе часто встречаются другие формы записи:

(3.2.7)

или

 

где - количество затрат вида , необходимое для производства одной единицы продукции, а - выпуск.

5. Производственная функция анализа способов производственной деятельности. Данная функция обобщает производственную функцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которых может протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид «оптимизационной задачи»

где (3.2.8)

где - выпуск продукции при единичной интенсивности -го базового процесса, - уровень интенсивности, - количество затрат вида , необходимых при единичной интенсивности способа . Как следует из (3.2.8), если выпуск, произведенный при единичной интенсивности и затраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск и общие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждого базового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задача максимизации функции по в (3.2.8) при заданных ограничениях-неравенствах является моделью анализа производственной деятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах).

6. Линейная производственная функция (функция с взаимозамещением ресурсов) применяется при наличии линейной зависимости выпуска от затрат:

(3.2.9 )

где - норма затрат k -го вида для производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат).

Среди приведенных производственных функций наиболее общей является функция CES. Действительно, используя понятия предельной нормы замещения и эластичности замещения, она обобщает функции Кобба-Дугласа, Леонтьева и линейную производственную функцию.

Можно показать, что функции (3.2.5) - (3.2.9) соответствуют свойствам 3, 4 и условиям (3.2.2), (3.2.3).

Для анализа процесса производства и различных его показателей наряду с предельными продуктами,

(верхние черточки обозначают фиксированные значения переменных), показывающими величины дополнительных доходов, получаемых при использовании дополнительных количеств затрат, применяются понятия средних продуктов.

Средним продуктом по -му виду затрат называется объем выпуска, приходящийся на единицу затрат -го вида при фиксированном уровне затрат других видов:

.

Зафиксируем затраты второго вида на некотором уровне и сравним графики трех функций:

 

 

Рис. 3.1 Кривые выпуска

 

Пусть график функции имеет три критические точки (см. Рис.3.1): - точка перегиба, - точка касания с лучом из начала координат, - точка максимума. Эти точки соответствуют трем стадиям производства. Первая стадия соответствует отрезку и характеризуется превосходством предельного продукта над средним: Следовательно, на этой стадии осуществление дополнительных затрат целесообразно. Вторая стадия соответствует отрезку и характеризуется превосходством среднего продукта над предельным: (дополнительные затраты не целесообразны). На третьей стадии и дополнительные затраты приводят к обратному эффекту. Это объясняется тем, что является оптимальным объемом затрат и дальнейшее увеличение их неразумно.

Для конкретных наименований ресурсов средние и предельные величины приобретают смысл конкретных экономических показателей. Рассмотрим, например, функцию Кобба-Дугласа (3.2.4), где - капитал, а - труд. Средние продукты

имеют смысл соответственно средней производительности труда и средней производительности капитала (средней фондоотдачи). Очевидно, средняя производительность труда убывает с ростом трудовых ресурсов. Действительно, производственные фонды (K) остаются неизменными, и потому вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда. Аналогичное рассуждение верно и для фондоотдачи как функции от капитала.

Для функции (3.2.4) предельные продукты

имеют смысл соответственно предельной производительности труда и предельной производительности капитала (предельной фондоотдачи). В микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда равна заработной плате (цене труда), а предельная производительность капитала - рентным платежам (цене услуг капитальных благ). Из условия (3.2.2) следует, что при неизменных основных фондах (трудовых затратах) увеличение численности работающих (объема основных фондов) приводит к падению предельной производительности труда (предельной фондоотдачи). Видно, что для функции Кобба-Дугласа предельные продукты пропорциональны средним продуктам и меньше их.