Решение задачи фирмы. Геометрическая иллюстрация

Пусть в задаче (3.5.1) производственная функция f дважды дифференцируема в и удовлетворяет условиям (3.2.2)-(3.2.3). Для нахождения ее оптимального решения (относительно затрат) построим функцию Лагранжа

где и выпишем необходимые условия Куна-Таккера:

(стационарность)

(дополняющая нежёсткость)

(допустимость)

В силу предположения о выполнении (3.2.3) эти условия становятся и достаточными условиями оптимальности. Упростим их, предположив . Содержательно это означает необходимость затрат всех видов. Это условие не является жестким, так как в случае можно было исключить ресурс k -го вида из рассмотрения, сократив тем самым размерность пространства затрат.

С учетом последнего предположения из условия дополняющей нежесткости следует . Заметим сразу, что это не противоречит условию о невозможности одновременного равенства нулю всех множителей Лагранжа - оно является следствием изменения условия задачи (3.5.1). В результате необходимый и достаточный признак оптимальности принимает вид:

(3.6.1)

Величину называют стоимостью предельного продукта. Поэтому (3.6.1) содержательно означает равенство стоимости предельного продукта и платы за ресурсы в точке :

Обозначим

и составим матрицу Якоби для системы (3.6.1):

Из алгебры известно, что если матрица Якоби невырожденна, то система (3.6.1) имеет решение. Здесь невырожденность следует из условий (3.2.2)-(3.2.3). Таким образом, система (3.6.1) разрешима и оптимальное решение задачи (3.5.1) может быть выражено как функция параметров: :

. (3.6.2)

В координатной форме имеем функций спроса на затраты

выражающих оптимальные объемы затрат в зависимости от цен.

Интересно заметить, что спрос не зависит от масштаба цен, точнее, от пропорционального изменения цены продукции и цен ресурсов. Действительно, из (3.5.1) для любых имеем:

Так как постоянный коэффициент не влияет на максимизацию функции P по x, то задача

имеет такое же оптимальное решение, что и задача (3.5.1). Следовательно,

и функции спроса на затраты являются однородными нулевой степени функциями.

Подставляя решение (3.6.2) в производственную функцию f, получаем выпуск как функцию от тех же параметров:

. (3.6.3)

Это есть функция предложения готовой продукции. Так как

то функция предложения также является однородной нулевой степени функцией, т.е. объем предложения товара остается неизменным при повышении (снижении) цен на ресурсы, если в той же пропорции повышается (снижается) цена готовой продукции.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию оптимального решения (3.6.2) задачи (3.5.1) в пространстве затрат. Для этого введем два геометрических понятия - изокванты и изокосты.

Рис. 3.3 Изокванта

 

Определение 3.2. Изоквантой (производственной функции называется геометрическое место всех векторов затрат , использование которых приводит к одному и тому же объему выпуска продукции .

Таким образом, изокванта - это линия уровня производственной функции. Для различных уровней выпуска линии уровня заполняют все пространство затрат и составляют карту изоквант. Для примера на Рис.3.3 приведен вид изоквант производственной функции Кобба-Дугласа.

Рис. 3.4 Особая область

 

Пусть производственная функция дифференцируема по обеим переменным. Тогда вдоль изокванты имеем:

.

Отсюда находим отношение:

(3.6.4)

Следовательно, наклон изокванты производственной функции выражается через отношение предельных продуктов. Дальнейшие геометрические построения, связанные с изоквантами, проведем на (Рис.3.4). Имея карту изоквант , проведем касательные к каждой из них с наклоном Эти касательные проходят параллельно к оси . Так как изокванты заполняют все пространство , то, соединяя точки касания, получим непрерывную линию Г-1, которую назовем границей первого ресурса.

Аналогично проведем касательные к изоквантам с наклоном Эти касательные проходят параллельно к оси . Соединяя точки касания, получаем непрерывную линию Г-2, которую назовем границей второго ресурса.

Построенная область в , заключенная между линиями Г-1 и Г-2, называется особой областью. Она характеризуется неотрицательностью обоих предельных продуктов , так как для неположителен. Можно показать, что в особой области справедливы и неравенства (3.2.3), т.е. это та область затрат, где выполнен закон убывающей доходности. Пользуясь условиями (3.2.3), можно доказать, что особая область является выпуклым подмножеством пространства затрат.

Граница первого ресурса Г-1 является геометрическим местом минимального количества затрат , необходимых для производства различных уровней выпуска. Например, для производства продукции в размере необходимо затратить первый ресурс как минимум в единиц (Рис. 3.4). Точно также, граница второго ресурса Г-2 является геометрическим местом минимального количества затрат , необходимых для производства различных уровней выпуска. Например, чтобы произвести продукцию в количестве , необходимо как минимум единиц второго ресурса.

Определение 3.3. Изокостой называется геометрическое место векторов затрат, для которых издержки производства постоянны:

Рис. 3.5 Изокосты

 

Для двухфакторного производства изокоста задается уравнением

.

Так как цены и предполагаются заданными, дифференцируя последнее уравнение, находим:

(3.6.5)

Следовательно, для разных констант изокосты являются параллельными линиями с одним и тем же наклоном (Рис. 3.5) и этот наклон выражается через отношение цен на ресурсы.

Сравнивая (3.6.4) и (3.6.5), получаем

(3.6.6)

Покажем, что равенство (3.6.6) достигается именно в точке , являющейся решением задачи (3.5.1). Из (3.6.1) в случае двухфакторного производства имеем:

Деля первое равенство на второе почленно, получаем

 

 

Рис. 3.6 Долгосрочный путь расширения

 

 

Рис. 3.7 Краткосрочный путь

 

Сопоставляя полученное равенство с (3.6.4) и (3.6.5), приходим к выводу: совпадение наклонов изокванты и изокосты имеет место в одной и той же точке , являющейся оптимальным решением задачи (3.5.1), и эта точка, конечно, является точкой касания изокосты и изокванты (Рис.3.6).

Так как изокванты и изокосты заполняют все пространство затрат, соединяя все точки их касания, получаем непрерывную линию. Очевидно, эта линия расположена в особой области, изображенной на рисунке 3.4, и потому чем дальше на ней расположена точка , тем больше соответствующие значения затрат и выпуска. Поэтому данная линия называется долгосрочным путем расширения производства. Таким образом, геометрическое место пересечений изоквант и изокост показывает оптимальный сценарий развития производства. Этот путь описывает, с одной стороны, затраты, максимизирующие прибыль фирмы, при любом фиксированном уровне издержек, с другой - затраты, минимизирующие издержки, при заданном уровне выпуска. Поэтому долгосрочный путь расширения иногда называют кривой издержек, имея в виду, что вдоль нее оптимальные издержки выражаются как функция от выпуска.

В случае краткосрочной задачи (3.5.2) (или (3.5.3)) необходимый и достаточный признак оптимальности будет иметь более сложный, чем (3.6.1), вид из-за наличия ограничений. Однако и в этом случае при выполнении условий (3.2.2)-(3.2.3) краткосрочный путь расширения, как геометрическое место векторов оптимальных затрат, будет проходить в особой области. Причем можно высказать гипотезу о том, что если множество допустимых затрат X (см. задачу (3.5.2)) краткосрочной задачи имеет непустое пересечение с долгосрочным путем расширения, то краткосрочный путь расширения совпадает (в области X) с долгосрочным путем, т.е. он является частью долгосрочного пути расширения (в случае см. Рис. 3.7).

Если эта гипотеза верна, то для каждой точки на краткосрочном пути существует такое постоянное число , что изокоста и изокванта из долгосрочной задачи будут иметь точкой касания точку . Последнее означает совпадение краткосрочной и долгосрочной кривых издержек, что говорит о согласованности