Конструирование и оценка производственных функций

Все рассмотренные применения производственных функций имеют место на практике экономических исследований и приносят реальную пользу только в том случае, если они как модели взаимосвязи затраты-выпуск будут адекватно отражать действительность. Поэтому важной задачей теории является разработка достоверных и реалистических методов построения производственных функций.

По существу, производственная функция есть совокупность правил, с помощью которых для каждого набора затрат определяется соответствующий выпуск : . Поэтому построение производственной функции означает нахождение математической формулы, отражающей эти правила или, иначе говоря, закономерности превращения набора ресурсов в конечный продукт. Этот процесс условно можно представить схемой:

 

Рис. 3.2 Схема превращения ресурсов в конечный продукт

 

В блоке (см. Рис. 3.2), образно говоря, происходит смешивание ресурсов в определенных пропорциях таким образом, чтобы получился требуемый продукт. Эти пропорции определяются спецификой производства и математически выражаются с помощью различных коэффициентов и показателей степени для величин . Смешивание их математически выражается с помощью разных формальных операций между ними (суммирования, произведения, логарифмирования и т.д.), вид и сочетание которых также определяется спецификой моделируемого производства. Поэтому вопрос построения производственной функции в каждом конкретном случае сводится к нахождению этих пропорций и к определению характера их смешивания.

Из сказанного следует, что для построения производственных функций нужно знать технологию производства, ее структуру и организацию, а также принципы работы сложных машин и оборудования, т.е. надо быть одновременно и технологом, и инженером, и математиком. Оказывается, что знание всего этого сложного производственного механизма не требуется, если владеть подходящими математическими приемами. Речь идет об использовании методов регрессионного анализа на основе статистических (опытных, экспертных) данных о затратах и выпуске. Не умаляя достоинства других математических и иных методов построения производственных функций, можно сказать, что именно методы регрессионного анализа наилучшим образом оправдали себя на практике и потому являются наиболее популярными. Рассмотрим только содержательной стороны построения конкретных видов производственных функций.

Идею применения статистических данных для построения производственной функции можно объяснить на рисунке 4.2. Имеются известные величины (реальные результаты производства) и одно неизвестное выражение , их связующее. Наблюдая в течение достаточно большого периода времени функционирования производства за различными значениями затрат и соответствующими им значениями выпуска y, можно выявить закономерность :

.

Например, свою знаменитую функцию (3.2.4) Кобб и Дуглас получили на основе изучения статистических данных по расходованию капитала (K), труда (L) и индекса производства (Y) в американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 гг. Практическая значимость этой функции подтверждается тем, что соответствующая замена исходных данных позволяет использовать ее для анализа любого производства.

Рассмотрим этапы построения производственной функции. Пусть известны виды ресурсов , используемых для выпуска данной продукции, и имеется необходимое количество статистических данных по объемам затрат и выпуска . Требуется установить зависимость , т.е. найти аналитический вид производственной функции f. Эта задача распадается на два этапа:

1. спецификация функции f, т.е. выявление общего вида функции f от аргументов с неопределенными параметрами (коэффициентами и показателями степеней при и свободным членом);

2. оценка параметров - определение конкретных числовых значений неизвестных параметров.

Картина расположения статистических данных в пространстве затраты-выпуск может подсказать линейный или нелинейный характер зависимости функции f от аргументов . Например, в случае линейной производственной функции результатом спецификации будет гипотеза о линейной зависимости вида

, (3.4.1)

в случае производственной функции Кобба-Дугласа - в виде мультипликативной функции

, (3.4.2)

в случае производственной функции CES - в виде степенного многочлена

(3.4.3)

и т.д. Здесь являются неизвестными параметрами, подлежащими определению (оценке).

Чаще остальных на практике применяется аппроксимация вида (3.4.1), называемая линейной регрессией. Для определения ее параметров используется (линейный) метод наименьших квадратов. В некоторых случаях к линейной аппроксимации удается свести и нелинейные относительно ресурсов производственные функции. Например, логарифмируя функцию (3.4.2), получим:

.

Вводя обозначения

приходим к линейной регрессии вида (3.4.1):

Применяя такой способ на основе статистических данных рассмотренного периода, Кобб и Дуглас получили следующую оценку параметров для своей функции:

и, следовательно, их производственная функция выглядела так:

Дальнейший анализ показал, что за исключением некоторых случаев (например, учета технического прогресса), имеет место соотношение Так как величина показывает эластичность производства, равенство является признаком линейной однородности производственной функции. Этот факт позволяет записывать функцию Кобба-Дугласа в виде где .

В отличие от функции Кобба-Дугласа, функция (3.4.3) даже после логарифмирования остается нелинейной. Поэтому для оценки параметров функции CES применяется более сложный нелинейный метод наименьших квадратов.

При спецификации производственной функции, т.е. при решении вопроса о принадлежности этой функции к тому или иному классу известных функций, может быть полезным знание тех или иных числовых характеристик этих классов функций (отношение средних и предельных показателей, предельная норма замещения, эластичность и др.). Например, при моделировании двухфакторного производства на основе имеющейся статистики можно составить дискретный (разностный) аналог показателя эластичности по капиталу

Если эта величина приблизительно равна постоянному числу для всех t и , для которых разность достаточно мала, то искомая функция может принадлежать классу функций Кобба-Дугласа. Точно так же, дискретный аналог эластичности замещения может внести ясность относительно принадлежности искомой функции к классу функций CES.