Декартова (Картезианская) система координат

Структура взаимосвязей между системами координат

 

Базовая косоугольная система координат

Координаты определяются осями (х – ось абсцисс, у - ось ординат)

Расстояние определяется проекциями

Полярная система координат

 

Точка О – полюс, - полярный угол, r – полярное расстояние.

M(r, )

Соответственно

 

 

Цилиндрические координаты

Есть некая плоскость Z проекция на точку M

 

 

Сферические системы координат

угол - полярное расстояние

угол - долгота

Соответственно

 

1.

2.

3.

 

Косоугольная система координат

 

Декартова система координат	M(x,y,z)
Полярная	M()
Цилиндрическая	M()
Сферическая с коор.	M()

 

0 в середине экрана у Картезианской системе координат.

(.) Все наши представления в векторах, в виде матрицы

 

Двумерная (2D — от англ. two dimensions — «два измерения») компьютерная графика классифицируется по типу представления графической информации, и следующими из него алгоритмами обработки изображений. Обычно компьютерную графику разделяют на векторную и растровую, хотя обособляют ещё и фрактальный тип представления изображений.

Трёхмерная графика (3D — от англ. three dimensions — «три измерения») оперирует с объектами в трёхмерном пространстве. Обычно результаты представляют собой плоскую картинку, проекцию. Трёхмерная компьютерная графика широко используется в кино, компьютерных играх.

Однородные координаты.

Однородные координаты

Определение. Однородные координаты — координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число.

Однородными координатами вектора (х, у, z) является тройка чисел (x', y', z', w), где х = х' / w, у = y' / w, z = z' / w, а w — некоторое вещественное число (случай, когда w = 0 является особым).

Данные координаты не позволяют однозначно задать точку пространства. Например, (1, 1, 1, 1) и (2, 2, 2, 2) задают одну и ту же точку (1, 1, 1). При переходе к однородным координатам для точки с координатами (x, y, z) предлагается взять набор (x, y, z, 1).В процессе преобразований координата w может меняться. Обратный переход к декартовым координатам осуществляется посредством деления на w-координату.

ИЛИ

Однородные координаты - это математический механизм, связанный с определением положения точек в пространстве. Привычный аппарат декартовых координат, не подходит для решения некоторых важных задач в силу следующих соображений:

· В декартовых координатах невозможно описать бесконечно удаленную точку. А многие математические и геометрические концепции значительно упрощаются, если в них используется понятие бесконечности. Например, "бесконечно удаленный источник света".

· С точки зрения алгебраических операций, декартовы координаты не позволяют провести различия межу точками и векторами в пространстве. Действительно, (1,2,5) - это направление или точка?

· Невозможно использовать унифицированный механизм работы с матрицами для выражения преобразований точек. С помощью матриц 3x3 можно описать вращение и масштабирование, однако описать смещение (x=x+a) нельзя.

· Аналогично, декартовы координаты не позволяют использовать матричную запись для задания перспективного преобразования (проекции) точек.

Матрица переноса.

Перенос

Рассмотрим элементарные геометрические преобразования (двухмерные и трехмерные), применяемые в машинной графике. Эти преобразования основаны на матричных операциях.

Рассмотрим преобразования на плоскости - перенос, масштабирование, поворот.

Точку на плоскости можно перенести в новые позиции путем добавления к координатам этих точек констант переноса.

х' = х + Dx у' = у + Dy

Определяем векторы строки

Р=[х,у] Р'=[х',у'] T=[Dx,Dy]

Сдвиг точки в векторной форме

[x',y']=[x,y]+[Dx,Dy]

Или более кратко Р' =Р+Т

Объект можно перенести, применяя это выражение к каждой точке объекта. Однако для отрезка достаточно применить этот процесс только к его концевым точкам. Это справедливо и для масштабирования и для поворота.

Уравнение переноса

Пользуясь однородными координатами можно записать в виде однотипных матричных выражений все три вида преобразований.

|1 0 0 | [x'y'1]=[x,y,1] |0 1 0 | |Dx Dy 1 |

ил Р' =Р ^. Т(Dx,Dy)

Если перенести точку на (Dx1,Dy1), а затем на (Dx2,Dy2), то последовательным применением преобразования переноса суммарный перенос запишется в виде матрицы

| 1 0 0 | | 0 1 0 | |Dx1+Dx2 Dy1+Dy2 1 |

Х мерный перенос

Трехмертные операции являются простым расширением двумерных.

T(Dx,Dy,Dz)

=

|         | |         | |         | | Dx Dy Dz   |

 

 

Свойства матрицы переноса.

Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

 

23. Матрица масштабирования.

Масштабирование

Для масштабирования объекта каждую точку необходимо растянуть в S_x раз по оси х и в S_y раз по оси у.

х' = х ^. S_x у' = у ^. S_y

Определяя

S=	| Sx   | |   Sy |

или P'=P ^. S