Линейная зависимость и независимость векторов, базис на плоскости и в пространстве, декартов базис.

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не все равные нулю одновременно и такие, что

Система векторов , называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда
Теорема: Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один вектор системы можно представить, как линейную комбинацию остальных.

Доказательство:

1)Пусть линейно зависимая система, тогда существует и и среди λ есть λ не равная нулю.

 

2) Обратное утверждение:

Тогда по определению - линейно зависимая.

Замечание: Любая линейно независимая система не содержит нулевого вектора.

Базис в пространстве (ЛВП)

Элементы называются базисом линейного векторного пространства (ЛВП), если - максимальная по включению линейно независимая система векторов L.

(Максимальной по включению – система линейно независимая, но добавление любого вектора делает систему линейно зависимой).

Теорема: Система векторов образует базис ЛВП Ln, тогда и только тогда, когда любой вектор принадлежащий Ln можно представить как линейную камбинацию векторов базиса и это разложение единственно.

- координаты в базисе

Теорема:

- базис ó

λ – координаты вектора в заданном базисе.

Базис в плоскости

Теорема: Любые 3-и вектора на плоскости линейно зависимые.

Доказательство:

 

Итак:

Любые 3 вектора линейно зависимы

Вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если вектор а не параллелен вектору b, то a и b линейно независимы

Максимальное количество линейно независимых векторов на плоскости = 2.

Вывод:

Любые два вектора принадлежащие V2 и не параллельные, образуют базис на плоскости.

 

Декартов базис

i; j – орты

 

Теорема: Разложение вектора по базису единственно.

Доказательство: (от противного)

Билет 7

Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой, критерий ортогональности векторов.

Скалярное произведение называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Свойства векторного произведения:

Проекция одного вектора на другой:

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат:

 

 

Билет 10

Различные уравнения плоскости в пространстве, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями – угол между их нормалями.

Уравнения плоскости в пространстве:

Рисунок

 

Билет 9

Смешанное произведение, его геометрический смысл, критерий компланарности векторов.

Смешанное произведение 3-х векторов:

Условие комплонарности:

Доказательство:

Свойства смешанного произведения:

1)Если abc>0, то тройка векторов правая

Если abc<0, то тройка векторов левая

2) abc=bca=cab

-bac=abc=-cba=-acb

3)(λa)bc=λ(abc)

4)(a1+a2)bc=a1bc+a2bc

Площадь параллелепипеда = |abc|

Площадь пирамиды = 1/6 |abc|

 

В прямоугольной декартовой системе координат:

 

Геометрический смысл:

Модуль смешанного произведения abc равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c а знак отвечает за ориентацию тройки.

Билет 11

Различные уравнения прямой в пространстве, переход от общего уравнения к каноническому, расстояние от точки до прямой.

Линии в пространстве могут быть заданы 2-я способами:

1)Линия – пересечение 2-х поверхностей:

2)Линия - траектория движущейся точки:

x=x(t)

y=y(t) t-параметр

z=z(t)

 

а)

Условие 1:

Для первого уравнения δ1 и для второго δ2

Сумма уравнений 1 представляет общее уравнение прямой в V3 тогда и только тогда, когда выполняется условие 2

б)

Канонические уравнения прямой:

Замечание:

Если в формуле (2) какой-либо знаменатель = 0, то и соответственно числитель тоже нужно прировнять к нулю.

в)

Уравнения прямых проходящих через 2-е точки:

Расстояние от точки до прямой:

 

 

Билет 12

Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров.

Уравнения:

Геометрический смысл параметров:

 

Билет 13