Понятие числового поля, аксиомы поля

Множества натуральных чисел N={0;1;2;3;4;5;6;7;8….;n,…}

Множества целых чисел Z={ }

Множества рациональных чисел

I – Множество иррациональных чисел (бесконечная, непериодическая дробь).

Множество действительных чисел R=Q U I

Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение 2-х своих чисел, называется кольцом

Z; Q; R; C – числовые кольца

N – Не является кольцом

Числовое кольцо называется числовым полем, если оно содержит честное 2-х своих чисел (делитель не равен нулю).

Q; R; C – числовые поля

I – не является числовым полем

Числовое поле <P+;*> P – носитель числового поля

Существуют a; b; c принадлежащие P

Выполняется 9-ть аксиом:

1) a+b=b+a коммутативность

2) (a+b)+c=a+(b+c) ассоциативность

3)Пусть существует 0 принадлежащий P, для любого a принадлежащего P => а+0=а (существование нулевого элемента).

4)Для любого а принадлежащего Р, существует (-а) принадлежащее Р => а+(-а)=0 (существование противоположного элемента).

5) a*b=b*a коммутативность умножения

6) (a*b)*c=a*(b*c) ассоциативность умножения

7) существует 1 принадлежащий P, для любого 0 принадлежащего P => а*1=1*а=а (существование единичного элемента).

8)

9) (a+b)*c=a*c+b*c дистрибутивность

 

 

Билет 3

Поле комплексных чисел, комплексные числа в алгебраической, тригонометрической, показательной формах.

i – мнимая единица

Комплексными называются числа вида z=x+iy

x=R z - действительная часть

iy=Im z – мнимая часть действительных чисел

а = 5

a=5+0i

Между комплексными числами и точками плоскости существует взаимно однозначное соответствие.

z=x+iy алгебраическая форма комплексных чисел

z=x-iy Сопряженное комплексное число

Степени мнимой единицы.

 

Пример.

Тригонометрическаяформа

z=x+y

 

 

- Тригонометрическая форма

Показательная форма

Билет 4

Теорема Безу, основная теорема алгебры

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена на двучлен равен

Доказательство:

Следствие:

Для того, чтобы Pn(z) делился на без остатка, необходимо и достаточно чтобы было корнем многочлена.

 

 

Основная теорема алгебры (Гауса):

Всякий многочлен Pn(z) степени не меньше 1 (n>=1) имеет по крайней мере 1-н корень

Доказательство:

Билет 5

Векторы, линейные операции над ними.

Вектор – направленный отрезок, у которого есть начало и конец, длина и направление.

- нулевой вектор. = 0 – направление производное.

1)Векторы a и b коллинеарные, если они лежат на 1-й прямой или на параллельных прямых.

2) Коллинеар – сонаправленные или противоположно направленные векторы.

3)Векторы равны, если их можно совместить параллельным переносом, это значит,

что любой вектор можно считать исходящим из точку О – начало координат.

4)Векторы называются комплонарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

 

Линейные операции с векторами.

1)Сложение:

Правило треугольника:

Правило параллелограмма:

Свойства:

2)Разность:

Это операция, противоположная сложению векторов

 

3)Произведение вектора а на число λ принадлежащее R.

Свойства:

Билет 8

Векторное произведение, его геометрический смысл, критерий коллинеарности векторов.

Ориентация векторов.

 

Упорядоченная тройка не комплонарных векторов a,b,c называются правой, если при приведению их к общему началу, при вращении от a к b «правый винт» движется в то полупространство, куда направлен вектор с. Если же правый винт движется в полупространство, противоположное тому, куда направлен вектор с, то тройка векторов a,b,c называется левой.

а,b,c – правая тройка векторов

a,b,c – левая тройка векторов.

Обозначения:

A u b = [a;b]

Свойства векторного произведения векторов

 

 

Рисунок:

 

Геометрический смысл векторного произведения векторов:

Тройки векторов b,c,a и c,a,b, получаются из исходной тройки a,b,c при помощи круговых перестановок и имеют с ней одинаковую ориентацию. А тройки b,a,c и a,c,b c,b,a получены другими перестановками и имеют ориентацию противоположную ориентации тройки a,b,c

 

Векторное произведение 2-х векторов a и b называется вектор с:

Билет 6