Линейная зависимость векторов. Базис.

Линейная комбинация – вектор, определяемый по формуле

Линейная зависимость – если существуют действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что . Если таких чисел нет, то векторы линейно независимы.

Утверждения:

Векторы зависимы только тогда, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Векторы зависимы только если они коллинеарные.

Если a и b – неколлинеарные векторы одной плоскости, то любой третий вектор c той же плоскости можно представить в виде линейной комбинации векторов. Т.е. c = xa + yb.

Теорема:

Для того чтобы три вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

 

Базис:

Три упорядоченных линейно независимых вектора называются базисом в пространстве.

Теорема:

Любой вектор a в пространстве может быть разложен по базису e1, e2, e3, то есть может быть представлен в виде a = xe1 + ye2 + ze3. (x y z – координаты вектора a в базисе)

Базис ортонормированный, если составляющие его векторы перпендикулярны и имеют единичную длину.

 

15) Линейное преобразование. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.

Собственные числа и векторы:

Ненулевой вектор, удовлетворяющий условию , называется собственным вектором линейного преобразования A, а соответствующее число – собственное число.

,

После нахождения корней уравнения подставляем их в систему, чтобы получить собственный вектор.

 

 

Плоскость: уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение плоскости; исследование общего уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку: .

x1, y1, z1 – координаты точки, лежащей на плоскости.

Общее уравнение плоскости: .

(A, B, C) – координаты вектора нормали.

(x1, y1, z1) – координаты точки.

Исследования общего уравнения плоскости:

 

 

Плоскость: уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; уравнение плоскости «в отрезках».

В координатной форме:

 

«В отрезках»

 

 

Плоскость: угол между плоскостями; взаимное расположение двух плоскостей; нахождение расстояния от точки до плоскости.

Плоскости параллельны, если их векторы нормали коллинеарны.

Плоскости перпендикулярны, если их векторы нормали перпендикулярны.

 

Расстояние от плоскости до точки измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Т.е. чтобы найти расстояние от точки M до плоскости Ax + By + Cz = 0, нужно в левую часть уравнения вместо текущих координат x, y, z, подставить координаты точки M(x1, y1, z1) и разделить полученное число на , взяв результат по абсолютной величине.

 

Прямая в пространстве: общие уравнения прямой; векторное уравнение прямой; параметрические уравнения прямой; угол между прямыми; взаимное расположение двух прямых.

Векторное уравнение прямой:

 

Параметрическое уравнение:

Угол между прямыми можно найти с помощью направляющих векторов.

Условия параллельности:

Условия перпендикулярности:

 

 

Прямая в пространстве: канонические уравнения прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; переход от общих уравнений прямой к каноническим.

Каноническое уравнение прямой:

В частном случае, когда направляющий вектор единичный:

Уравнение прямой. Проходящей через две точки.

ð .

 

Переход от общих уравнений к каноническим:

 

Прямая и плоскость в пространстве: взаимное расположение прямой и плоскости; точка пересечения прямой и плоскости; угол между прямой и плоскостью; пучок плоскостей.

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и вектор нормали перпендикулярны.

Прямая и плоскость перпендикулярны, когда вектор нормали и направляющий вектор параллельны.

 

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно представить уравнение прямой в параметрическом виде, затем подставить значения x, y, z в уравнение плоскости.
->

При этом векторы должны быть не перпендикулярны и не параллельны.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью:

 

Пучок плоскостей:

 

Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение прямой; исследование общего уравнения прямой; взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями.

Уравнение:

Даны точка и вектор ,

Т.к вектор и прямая перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, т.е, в координатной форме: Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Общее уравнение прямой -

Исследование прямой:
При A=0, прямая будет параллельна оси Ox;

При B=0, прямая будет параллельна оси Oy;

При C=0, прямая будет проходить через начало координат;

При A=C=0, при B не= 0, прямая совпадает с осью Ox; при B=C=0, А не= 0, с осью Oy.

Взаимное расположение двух прямых:

Параллельны и совпадают, если A/A1 = B/B1 = C/C1,

Параллельны и не совпадают, если A/A1 = B/B1 не= C/C1,

Пересекаются, если A/A1 не= B/B1.

 

Прямая на плоскости: векторное уравнение прямой; параметрические уравнения прямой; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; взаимное расположение двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

r = r0 + st - векторное уравнение прямой.

S (m, n) – направляющий вектор, M0(r0)точка на прямой М0(x0, y0).

Параметрическое уравнение:

{х = х0 + mt

{y= y0 + nt

Выразим t:

x – x0 / m = t и y – y0 / n = t, т.е,

x – x0 / m = y – y0 / n = t – каноническое ур-е прямой.

Уравнение прямой, через две точки.

 

Условие параллельности - равное соотношение соответствующих величин.

Перпендикулярности – скалярное произведение направляющих векторов = 0.

 

 

Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении; уравнение прямой с угловым коэффициентом; взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом; расстояние от точки до прямой.

По направлению:

С угловым коэффициентом:

Число называется угловым коэффициентом прямой.

y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

b – отрезок, отсекаемы на оси Oy.

Прямые:

Расстояние от точки до прямой:

 

 

25) Кривые второго порядка. Эллипс: основные определения; вывод канонического уравнения.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний до которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами – постоянная величина.

отношение фокального расстояния к длине большой оси (эксцентриситет).

Директрисы: (две прямые, перпендикулярные оси Ox, на расстоянии от центра)

26) Кривые второго порядка. Гипербола: основные определения; вывод канонического уравнения.

Гипербола – множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами – постоянная величина.

отношение фокального расстояния к длине действительной(фокальной) оси (эксцентриситет).

Директрисы:

Ось, сопряженная с гиперболой:

27) Кривые второго порядка. Парабола: основные определения; вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, равноудалённых от точки-фокуса и данной прямой, называемой директрисой.

Директриса: