Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонированная матрица получается из исходной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером.

Квадратная матрица называется обратной к данной квадратной матрице, если их произведение равно единичной матрице.

Вырожденной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

Теорема:

Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

 

 

4) Ранг матрицы. Элементарные преобразования, не меняющие ранг матрицы (с доказательством).

1) Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, лежащих на пересечении каких-либо её k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A.

2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Минор, имеющий порядок r, называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называется соответственно базисными строками и столбцами.

Т.е. ранг матрицы не изменится если в матрице следующие преобразования:

 

5) Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кроннекера-Капелли.

Система уравнений – множество уравнений с n<=2 неизвестными, для которых требуется найти значения, удовлетворяющие всем ур-м системы.

Совокупность чисел a1, a2 …an называется решением системы, если она обращает все ур-я системы в тождества.

Если система имеет решения, то её называют совместной, иначе – несовместная. Если совместная система имеет одно решение – определённая, если >1, то неопределённая.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу основной матрицы. При этом если они равны числу неизвестных, то система определённая. Если <числа неизвестных, то система неопределённая.

 

Решение систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера (с выводом).

Матричный метод.

Вывод: Матрица-столбец X неизвестных равна произведению обратной матрицы системы на столбец свободных членов.

Формулы Крамера.

Последовательно заменяются столбцы системы столбцом свободных членов. Определители = значения неизвестных, соответственно заменённым столбцам.

 

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод – последовательное исключение неизвестных путём элементарных преобразований матрицы.

 

Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Однородная система – если свободные члены в системе равны нулю. (=> всегда совместна)

 

Чтобы система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы а) ранг её основной матрицы был меньше количества неизвестных, б) определитель = 0.

Множество решений, полученных при решении методом Гаусса – фундаментальная система решений.

 

9) Векторы: Основные определения, линейные операции над векторами, проекция вектора на ось.

Вектор – направленный отрезок.

Модуль вектора – его длина (| расстояние между его началом и концом |).

Нулевой вектор – начало и конец совпадают.

Единичный вектор – длина равна единице.

 

Векторы коллинеарные, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора, если на одной или на параллельных плоскостях.

Операции:

Сумма векторов – вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что второй вектор отложен из конца первого.

Разность двух векторов – такой вектор, который при сложении с меньшим равен большему.

Произведение вектора на число

 

Проекция вектора на ось – число, равное произведению длины вектора и угла между осью и этим вектором.

 

Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Действия над векторами, заданными своими координатами. Деление отрезка в данном отношении.

Декартовы прямоугольные координаты вектора – его проекции на координатные оси.

Действия над векторами:

Сумма векторов – сумма соответствующих координат.

Разность – разность соответствующих координат.

Произведение вектора на число – произведение координат на число.

Деление отрезка в данном отношении:

 

Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение прямой; исследование общего уравнения прямой; взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями.

Уравнение:

Даны точка и вектор ,

Т.к вектор и прямая перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, т.е, в координатной форме: Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Общее уравнение прямой -

Исследование прямой:
При A=0, прямая будет параллельна оси Ox;

При B=0, прямая будет параллельна оси Oy;

При C=0, прямая будет проходить через начало координат;

При A=C=0, при B не= 0, прямая совпадает с осью Ox; при B=C=0, А не= 0, с осью Oy.

Взаимное расположение двух прямых:

Параллельны и совпадают, если A/A1 = B/B1 = C/C1,

Параллельны и не совпадают, если A/A1 = B/B1 не= C/C1,

Пересекаются, если A/A1 не= B/B1.

 

Прямая на плоскости: векторное уравнение прямой; параметрические уравнения прямой; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; взаимное расположение двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

r = r0 + st - векторное уравнение прямой.

S (m, n) – направляющий вектор, M0(r0)точка на прямой М0(x0, y0).

Параметрическое уравнение:

{х = х0 + mt

{y= y0 + nt

Выразим t:

x – x0 / m = t и y – y0 / n = t, т.е,

x – x0 / m = y – y0 / n = t – каноническое ур-е прямой.

Уравнение прямой, через две точки.

 

Условие параллельности - равное соотношение соответствующих величин.

Перпендикулярности – скалярное произведение направляющих векторов = 0.

 

 

Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении; уравнение прямой с угловым коэффициентом; взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом; расстояние от точки до прямой.

По направлению:

С угловым коэффициентом:

Число называется угловым коэффициентом прямой.

y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

b – отрезок, отсекаемы на оси Oy.

Прямые:

Расстояние от точки до прямой:

 

 

25) Кривые второго порядка. Эллипс: основные определения; вывод канонического уравнения.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний до которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами – постоянная величина.

отношение фокального расстояния к длине большой оси (эксцентриситет).

Директрисы: (две прямые, перпендикулярные оси Ox, на расстоянии от центра)

26) Кривые второго порядка. Гипербола: основные определения; вывод канонического уравнения.

Гипербола – множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами – постоянная величина.

отношение фокального расстояния к длине действительной(фокальной) оси (эксцентриситет).

Директрисы:

Ось, сопряженная с гиперболой:

27) Кривые второго порядка. Парабола: основные определения; вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, равноудалённых от точки-фокуса и данной прямой, называемой директрисой.

Директриса:

 

 

Транспонирование матриц. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством)

Транспонированная матрица получается из исходной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером.

Квадратная матрица называется обратной к данной квадратной матрице, если их произведение равно единичной матрице.

Вырожденной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю.

Теорема:

Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

 

 

4) Ранг матрицы. Элементарные преобразования, не меняющие ранг матрицы (с доказательством).

1) Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, лежащих на пересечении каких-либо её k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A.

2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Минор, имеющий порядок r, называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называется соответственно базисными строками и столбцами.

Т.е. ранг матрицы не изменится если в матрице следующие преобразования:

 

5) Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кроннекера-Капелли.

Система уравнений – множество уравнений с n<=2 неизвестными, для которых требуется найти значения, удовлетворяющие всем ур-м системы.

Совокупность чисел a1, a2 …an называется решением системы, если она обращает все ур-я системы в тождества.

Если система имеет решения, то её называют совместной, иначе – несовместная. Если совместная система имеет одно решение – определённая, если >1, то неопределённая.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу основной матрицы. При этом если они равны числу неизвестных, то система определённая. Если <числа неизвестных, то система неопределённая.