Действие над векторами и их свойства

Ключевые слова: вектор, сумма, разность векторов, координаты вектора

Вектор - это направленный отрезок.

Суммой векторов − a (a 1; a 2) и − b (b 1; b 2) называется вектор − c a 1+ b 1; a 2+ b 2 ,
т.е. − a a 1; a 2 +− b b 1; b 2 =− c a 1+ b 1; a 2+ b 2 .

Для любых векторов − a (a 1; a 2) и − b (b 1; b 2) справедливы равенства:

• переместительный закон: − a +− b =− b +− a;
• сочетательный закон: − a +(− b +− c)=(− a +− b)+− c;
• из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство −− AB +−− BC =−− AC

Разностью векторов − a (a 1; a 2) и − b (b 1; b 2) называют такой вектор − c (c 1 c 2), который в сумме с вектором − b (b 1; b 2) дает вектор − a (a 1; a 2). Таким образом: − c (c 1 c 2) + − b (b 1; b 2) = − a (a 1; a 2), откуда c ₁ = a ₁ - b ₁ и c ₂ = a ₂ - b _2.

Произведением вектора − a (a 1; a 2) на число называется вектор − b (b 1; b 2), такой что
b ₁ = a ₁ и b ₂ = a ₂. т.е. − a (a 1; a 2)=− b ( a 1; a 2).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:
S =− a − b = − a − b cos , если угол между векторами равен

 

 

25) Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

,

,

,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

.

Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть

для всех .

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.

 

26) прямоугольная система координат

Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

Связанные термины: Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную). ^[1]

Действие над векторами, заданными координатами

Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис , и относительно него векторы

и заданы своими координатами: . Тогда , т. е. при сложении или вычитании векторов

складываются или вычитаются их одноименные координаты; , т. е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис , и относительно него векторы

и заданы своими координатами: . Тогда , т. е. при сложении или вычитании векторов

складываются или вычитаются их одноименные координаты; , т. е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Длина вектора Векторы Обозначения: Длина вектора, модуль (абсолютная величина):

 

Сумма векторов:

(правило треугольника) (рис. 1.22);

(правило параллелограмма) (рис. 1.23);

(правило многоугольника);

(правило параллелепипеда, - диагональ).

Разность векторов:

Формула вычитания векторов: (рис. 1.24).

Признак коллинеарности векторов:

27)векторы в пространстве и действия над ними

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А ­­ В, l<0, то А ­¯ В. в)l>1, то А <<span style="TEXT-DECORATION: underline">В,)l<1, то АВ. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

Скалярное произведение Определение 9.15.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

Определение 9.16.

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так:

Определение 9.17.

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

 

28) уравнение прямой и плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

 

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение сферы

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностьюшара.

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3^[1]

Площадь сферы