Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрический и механический смысл производнойСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Геометрический смысл производной Пусть функция определена в некоторой окрестности токи , непрерывна в этой точке и , а (рис.2).
Рис. 2 Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке . Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть, чтобы существовала конечная производная функции в точке . Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :
Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
В случае бесконечной производной . Из уравнения секущей имеем:
Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс. Механический смысл производной Пусть материальная точка движется прямолинейно и - длина пути, проходимого за время , отсчитываемого от некоторого момента времени . Для определения скорости в данный момент придадим переменной некоторое приращение , при этом приращение пути будет равно . Отношение называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени , и обозначается
Предел называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени . Таким образом, мгновенная скорость в момент времени прямолинейного движения, совершаемого по закону равна значению производной . Примеры задач Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и . Решение. I способ. Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке. - уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке с абсциссой x0 - уравнение касательной к графику функции y=x3 в точке с абсциссой x1 Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда
Решением системы будут
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M (x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx+b. Поскольку для касательной k = f '(x0), то получаем уравнение y = f '(x0)· x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0 = f ' (x0) · x0 + b. Отсюда b = y0 – f '(x0)· x0. Таким образом, получаем уравнение касательной y = f '(x0)· x + y0 – f '(x0)· x0 или
Если касательная, проходящая через точку М (x0, y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0. Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке. Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством: . Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M (x 0, y 0 ), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид: Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е. f '(x 0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y 0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x 0. Примеры. 1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg 2 x в точке с абсциссой x 0 =π/4. Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4 x – π + 1. Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4· x + π/16 + 1. 2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2) 2 + 5 в точке M (2; 5). y '= x – 2, y '(2) = 0. Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y = 5. Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x = 2. 3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M (2; 3). Найдем y ' по правилу дифференцирования неявной функции . Уравнение касательной: ,т.е. . Уравнение нормали: , т.е. . 4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x = t – sin t, y = 1 – cos t в точке М (x 0; y 0), которая соответствует значению параметра t = π/2. При t =π/2 x 0 = π/2 – 1, y 0 =1. . Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2. Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.
Правила дифференцирования Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем Доказательство а) По свойству предела суммы получаем Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: В частности, б) Функцию f · g можно записать в виде Но По свойству предела произведения получаем Используя доказанное равенство, получим, что Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу в) Для доказательства этой формулы заметим, что Воспользовавшись свойством предела частного, получим После этого представим как произведение функций f и откуда и следует доказываемая формула. Если f дифференцируема, то где также дифференцируема, причем Доказательство этой формулы предоставляем читателю. Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки причем то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y 0 = f (x 0), причем Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x 0 и y 0 = f (x 0) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точкеx 0, причем Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного. Если f (x) – четная функция, то – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то – четная. Пусть в окрестности точки t 0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные и Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем 18) Понятие дифференциала и его геометрический смысл Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда: . Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1) - линейного относительно , т.к. ; 2) - нелинейного относительно , т.к. . Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: . Пример. Найти приращение функции при и : Решение. , Пример. Найти дифференциал функции . Решение. По формуле (7.2.) имеем . Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде: Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; просмотров: 268; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.122.140 (0.01 с.) |