Окрестностное определение по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

 

Геометрическая интерпретация предела функции.

Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции .

Рис. 1. Секущая AB образует угол β с положительным направлением оси 0 x. Касательная к графику функции проведена в точке A.

Угловой коэффициент секущей AB равен средней скорости изменения функции на промежутке [ x, x + ∆ x ]:

(5)

Предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A по дуге кривой является касательная к графику в точке A. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при ∆ x → 0:

(6)

Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A.

Таким образом, производная в точке x равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в этой точке с положительным направлением оси 0 x.

 

 

11)

 

Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции и обозначают любым из символических выражений Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений: Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов: Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции отличаются друг от друга: Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует.

 

12) Первым замечательным пределом именуют . Известны также и следствия из первого замечательного предела:

Все приведенные выше формулы получаются из основной: . Примечательность последней формулы состоит в том, что вместо х можно подставлять любое выражение, лишь бы это выражение стремилось к нулю. Например, так как при , то . Собственно говоря, на этом и основаны примеры на первый замечательный предел. Суть решения таких заданий проста: формально подогнать условие под вид первого замечательного предела, после чего использовать формулу . Допустим, нужно найти . Простой подстановкой проблему не решить, потому как , т.е. тут мы имеем дело с неопределенностью вида . Если такая неопределенность встречается вкупе с тригонометрическими выражениями, то для стандартных типовых расчетов это почти стопроцентная гарантия первого замечательного предела. Подгоним данную задачу под вид упомянутого предела, учитывая :

Осуществим следующее преобразование: в числителе домножим на 7х и разделим на 7х. этим мы не изменяем значение числителя. Аналогичную операцию проделаем в знаменателе:

Что нам это даст? Так как при имеем , то можно применить первый замечательный предел: . Учитывая это, получим:

Сокращая х и вспомнив, что , получим: . Приведем ещё несколько примеров решения задач на первый замечательный предел:

 

13) Классификация бесконечно малых функций

Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.

Дадим следующие определения.

Если , то говорят, что a(x) и b(x) бесконечно малые одного порядка при x®x0.

Если , то говорят, что a(x) бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с b(x) при x®x0, и пишут , x®x0.

Если a(x) и bk(x) – бесконечно малые одного порядка (k>0), то говорят, что b(x) величина k-го порядка относительно бесконечно малой a(x) при x®x0 и пишут , x®x0.

Если , то говорят, что a(x) и b(x) эквивалентные бесконечно малые при x®x0 и пишут , x®x0.

Замечание. Та же терминология применяется и при сравнении функций, не являющихся бесконечно малыми при x®x0. В этом случае добавляется ещё одно определение.

Если существует число C > 0 такое, что в некоторой проколотой окрестности точки x0 справедливо неравенство , то говорят, что функция a(x) ограничена относительно функции b(x) при x®x0, и пишут , x®x0.

Примеры. 1. Привести примеры на каждое из определений.

2. Доказать, что при x®0.

3. Вычислить: .

4. Доказать, что при x®0.

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

 

 

14) Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги».

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

Точки разрыва

Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения), то получится следующее. Существует такая окрестность значения функции в рассматриваемой точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности.

В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a.

Возможны два варианта:

§ либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе — устранимая особая точка). Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

§ либо предела функции в данной точке не существует. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:

§ если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

§ если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.