Разложение функции синуса в ряд
Похожие статьи вашей тематики
Первое, что необходимо сделать при вычислении какой-либо функции по ее разложению в ряд, это уменьшить, если возможно, диапазон значений аргумента, для которых требуется это вычисление. Это может значительно уменьшить ошибку округления. «Математическое» определение синуса через его разложение в степенной ряд пригодно для всех значений аргумента, но при этом подразумевается, что вычисление синуса необходимо производить с бесконечно большим количеством значащих цифр. На практике при вычислениях с помощью ЭВМ степенной ряд для синуса становится совершенно бесполезным при больших значениях аргументах и дает совершенно бессмысленные результаты.
В случае синуса задача решается весьма просто:
 ,
Таким образом, отнимая некоторое число, кратное  , мы сводим задачу нахождения синуса произвольного угла к задаче нахождения угла, лежащего между -  /2 и  /2.
На практике уменьшение аргумента не производится последовательным вычитанием. Вместо этого первоначальный угол делится на  , причем деление организовано так, что частное получается целым. Остаток от деления будет определять собой некоторый угол, заключенный между 0 и  . Если остаток больше  /2, то еще одно вычитание дает угол между - /2 и /2. Целое частное от деления исходного угла на  используется для того, чтобы определить, следует ли изменить знак окончательного результата (при нечетном частном).
Практическая часть
Алгоритм расчета функции синуса
В данной работе используется арифметика c фиксированной запятой, следовательно, требуется, чтобы все числа были представлены по абсолютному значению меньше единицы.
Для преставления функции синуса воспользуемся формулами приведения и двойного угла:
 (1)
для случая, когда аргумент лежит в интервале  и
 (2)
для случая, когда аргумент лежит в интервале  .
Рассмотрение двух случаев обусловлено тем, что невозможно использовать лишь одно соотношение (1), так как при расчетах будут возникать числа большие единицы.
В итоговых формулах расчета функции синуса (1) и (2) присутствует умножение на 2, которое будет заменено на сложение величины самой с собой.
Таким образом, число, поступающее на вход нашей машины, не будет превышать единицы по модулю, так как максимально возможный аргумент равен  , либо  .
Для представления формул (1) и (2) в виде общего ряда используем стандартный ряд Тейлора для синуса в диапазоне  ≤ x ≤  :
Для аргумента синуса равного  разложение в ряд Тейлора будет иметь следующий вид:
Далее, общий ряд для вычисления функции sin(x) по формуле (1):
(3)
Разложение в ряд Тейлора для аргумента синуса, равного  , будет иметь следующий вид:
И общий ряд для вычисления sin(x) по формуле (2):
(4)
Будем рассматривать два случая:
1. В вычислительной машине реализована функция умножения. Алгоритм вычисления показан на Схеме 2.
2. В вычислительной машине не реализована функция умножения. При этом алгоритм процедуры умножения реализован отдельно и показан на Схеме 1. Алгоритм вычисления показан на Схеме 3.
| Сдвиг res на 1 разряд вправо
| | Сдвиг res на 1 разряд вправо
| | Схема 1. Блок-схема процедуры умножения
|
| Схема 2. Функция умножения в вычислительной машине реализована
| | Схема 2. Функция умножения в вычислительной машине реализована
| | Схема 3. Функция умножения в вычислительной машине не реализована
|
Оценка погрешностей
|
Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
