Решение уравнений с комплексным переменным

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

1)а = -1; 2)а = -25; 3)а = -3.

1)z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 - i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение: z2 = (-1)25,

z2 = i2 52, z2 - 52 = 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ.z 1,2 = 5i.

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0, z1 = i, z 2 = - i. Ответ. z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i = 2i, = i . Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а,b,с- действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2 = .

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = = =2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4- это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = - , z1z2 = .

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.

Вопрос

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Алгебраическая форма комплексных чисел (рис. 5.1)
Обозначения, терминология

где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;
- число, сопряженное числу z = a + bi;
- модуль комплексного числа;
либо, - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);

Arg z - множество аргументов числа z:

Вопрос

1 сложение
2вычитание
3умножение
4деление
5возведение в степень (формула Муавтра)
6извлечение корня
7решение уравнений

При сложении и вычитании складываются отдельно действительные части чисел, и отднльно мнимые части чисел и опять же число записывается в виде z=a+bi
Умножаются комплексные число самым обычным способам, умножение двух скобок, надеюсь это все умеют делать. А после этого находим подобные слогаемые, И ПОМНИТЕ I В КВАДРАТЕ РАВНО -1
Деление производится как и умножение, только там один единственный способ. Нужно домножить дробь на комплексное число, которое сопрежено со знаменателем. В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДОЛЖНО ПОЛУЧИТЬСЯ ЧИСЛО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ (БЕЗ МНИМОЙ ЧАСТИ....PS ТО ЕСТЬ БЕЗ I

Вопрос

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
Формула Муавра.Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
zn = [r(cos φ + isin φ)]n = rn(cos nφ + isin nφ),
где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
z1 / n = [r(cos(φ + 2πk) + isin(φ + 2πk))]1 / n =

 

Формула Муавра

Пусть комплексное число z представлено в тригонометрической форме: z = r (cosφ + i sinφ), где r – модуль данного числа, а φ его аргумент. Поскольку при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются, имеем: z ^2 = r ^2(cos2φ + i sin2φ), z ^3= r ^3(cos3φ + i sin3φ), … Поэтому легко доказать (например, методом полной математической индукции) формулу Муавра, имеющую вид z^n = r^n (cos n φ + i sin nφ). С помощью формулы Муавра можно получить формулы, выражающие cos nφ и sin n φ через синус и косинус числа φ: здесь – биномиальные коэффициенты. Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.