Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

(17.14)

где неизвестным служит , а -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень -ой степени из комплексного числа . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если , то . Пусть . Запишем число в тригонометрической форме: . Здесь и -- известные величины. Запишем неизвестное число в тригонометрической форме: . Здесь и -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому . В этом соотношении и -- положительные числа, следовательно , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную . Поэтому , . Отсюда находим, что

В итоге получили:

(17.15)

Значения , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения , которые можно получить при

Пример 17.9 Найдите корни уравнения .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме:

то есть , . Тогда

При получим:

При получим:

При получим:

При получим:

Ответ: , , ,

7.Функции комплексного переменного
Основная статья: Комплексная функция
• Гамма-функция
• Гиперболические функции
• Дзета-функция Римана
• Комплексный анализ
• Комплексный логарифм
• Показательная функция
• Степенная функция
• W-функция Ламберта

 

 

Вопрос

Решение уравнений высших степеней.

В общем случае уравнение степени выше четвертой не разрешимо в радикалах. Однако, иногда можно отыскать корни уравнения высшей степени, представив его в виде призведения многочленов степени не выше четвертой. Таким образом, разложение многочлена на множители является основным методом решения таких уравнений, поэтому, рекомендуем подробно изучить этот раздел, прежде чем двигаться дальше.

Достаточно часто рассматриваются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. В этом случае можно попытаться найти рациональные корни и понизить степень исходного уравнения хотя бы до четвертой делением многочлена на многочлен.

На их решении и остановимся.

Уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Любое уравнение вида можно свести к приведенному уравнению той же степени домножив обе его части на и выполнив замену переменной

Полученные коэффициенты тоже будут целыми.

Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида

Алгоритм решения.

Находим целые корни уравнения.

Целые корни уравнения, i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена. То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде, где - корень уравнения, а - частное от деления на.

Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение, начиная с (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень найден и уравнение предстает в виде, где - частное от деления на.

И так продолжаем перебор делителей, начиная с. В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде, где - многочлен степени n-m. Весь этот процесс удобно представлять в виде схемы Горнера.

Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.

Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения любым способом.

Ребят вот ещё ссылка для 8 ворд нихуя как надо не открывает))

 

http://www.cleverstudents.ru/equations_of_higher_degree.html

Вопрос

Интегрирование дробно-рациональных функций.

Определение дробно-рациональной функции.

Определение 1.

Целой функцией называется многочлен (полином).

Определение 2.

Дробно-рациональной функцией называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Определение 3.

Дробно-рациональная функция называется неправильной рациональной дробью, если степень числителя не меньше степени знаменателя(n m).

Определение 4. Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Теорема:

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой функции и правильной рациональной дроби.

Постановка задачи интегрирования дробно-рациональной функции.

- задача свелась к интегрированию правильной рациональной дроби.

Простейшие рациональные дроби.

Простейшими рациональными дробями являются рациональные дроби:

1)

2)

3)

Выделяем полный квадрат и делаем замену переменной:

Тогда интеграл примет вид:

Делаем обратную замену переменной и получаем окончательный ответ.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Дана правильная дробь:

Теорема 1. Если знаменатель Q(x) имеет любые корни, то правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей 1 и 2 типа. (1)

Интегрирование правильной рациональной дроби.

сумме интегралов от простейших дробей (см. формулу 1 из 9.4).

 

Вопрос

Определение

Областью определения функции (выражения f(x)) называют множество всех значений x, для которых функция (выражение) имеет смысл.

Область определения функции обозначается как или D(f) или D(y)

Вопрос

1. Метод оценки (границ).

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

 

Пример 1. Найдите множество значений функции y=5 - .

Из определения квадратного корня следует, что 4 - x² 0, решая квадратичное неравенство получаем, что -2 x 2. разобьем промежуток [-2; 2] на два промежутка [-2; 0] и (0; 2]. Первому промежутку соответствует неравенство -2 x 0, а второму соответствует 0 < x 2. На первом промежутке переменная х принимает неотрицательные значения, а на втором - положительные.

Возведем в квадрат каждое из этих двойных неравенств, в результате получим 0 x² 4.
Умножим все три части неравенства на - 1, получим неравенство

- 4 - x² 0.
Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим

0 4 - x² 4.
Введем вспомогательную переменную предположив, что

t = 4 - x², где 0 t 4.

Функция y = на указанном промежутке непрерывна и возрастает, поэтому свои наименьшее и наибольшее значения принимает на концах промежутка и, следовательно, 0 2 тогда произведя обратную замену переменных получим неравенство 0 2. Прибавим к трем частя последнего двойного неравенств 5, умножив его предварительно на - 1, получим 3 5 - 5.

Множество значений функции y = 5 - является множество [3; 5].

 

Пример 2. Найти множество значений функции y = 5 - 4sinx.

Из определения синуса следует, -1 sinx 1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

-4 - 4sinx 4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

1 5 - 4sinx 9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случаее множество значений функции y =5 - 4sinx есть множество [1; 9].

 

Пример 3. Найти множество значений функции y = sinx + cos x.

Преобразуем выражение sinx + cos x = sinx +sin( - x) =
= 2sin((x + - x)/2)cos((x + + x)/2) = 2sin{ )cos(x + ) =
= cos(x + ).

Из определения косинуса следует -1 cosx 1;

-1 cos(x + } 1;

- cos(x + ) ;

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y = cos(x + ) есть множество [- ; ]. Множество значений функции

y = sinx + cosx есть множество чисел [- ; ].

 

Пример 4. Найти множество значений функции y = 3sinx + 7cos x.

Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x. Заметим, что 3² + 7² = 9 + 49 = 58 =
3sinx + 7cos x = ( sinx + cosx).
Так как < 1 и < 1. и ()² + ()²= 1, то найдется такое число что cos = и sin = . Тогда 3sinx + 7cos x = (cos sinx + sin cosx) = sin( + x).

Из определения синуса следует, что при любом х справедливо неравенство -1 sinx 1 и, из периодичности этой функции, следует, что

-1 sin( + x) 1, тогда умножая все части двойного неравенства на , имеем - sin( + x) .

Множество значений функции y = 3sinx + 7cos x является множество [ - ; ].