Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

· Находим область определения функции.

· Находим производную функции на области определения.

· Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

· Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

· Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

 

4. первообразная функции, основные свойства первообразных, правила вычисления

 

Первообрáзной данной функции называют такую , производная которой (на всей области определения) равна , то есть . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если — первообразная интегрируемой функции , то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница

Свойства первообразной

· Первообразная суммы равна сумме первообразных

· Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

· Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность на этом отрезке

· Пример 1. Доказать, что функция F(x)=15sin5x является первообразной функции f(x)=cos5x.

· Для доказательства воспользуемся определением, а точнее тем фактом, что F′(x)=f(x), и найдём производную функции F(x): F′(x)=(15sin5x)′=15⋅5cos5x=cos5x. Значит F(x)=15sin5x является первообразной f(x)=cos5x. Что и требовалось доказать.

 

5. Таблица первообразных

 

6. Криволинейная трапеция. Площадь криволинейной трапеции

Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 2).

Площадь данной криволинейной трапеции:

 

Криволине́йная трапе́ция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции , определенной наотрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми и .

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.

 

7. Вектор, определение, нулевой вектор, длина вектора

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина вектора Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

 

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0. Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

 

Сонаправленные вектора Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b

Противоположно направленные вектора

Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

 

Равные вектора

Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

 

Единичный вектор

Определение.

Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

 

8. Нахождение суммы, разности, произведение векторов