Теорема о непрерывности и дифференцируемости функции одного аргумента в данной точке.

Теорема о непрерывности и дифференцируемости функции одного аргумента в данной точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Теорема о производной сложной функции.

Пусть ф-ия g(x) имеет пр-ую в т. , а ф-ия F(g) имеет пр-ую в т. .Тогда ф-ия F(g(x))будет иметь пр-ую в т. и справедливо соотношение [Fg(x))]’ = F’(g(x))*g’(x)~

х- независимая переменная, g промежуточная переменная.

Доказательство: Пусть аргумент х получил приращение .Тогда g(x) получит приращение

Заменим тождество: найдем предел при .Если ,то т.к. ф-ия дифференцируема, следовательно непрерывна.

(F(g(x)))’=

Теорема о производной произведения двух функций.

Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

Доказательство.

Пусть y = uv. Тогда

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а) (с•u)'=с•u', где с = const;
б) (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.

 

Необходимый признак дифференцируемости в точке.

Для того чтобы функция F(x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная F’(x)

Доказать эквивалентность утверждений: «функция f(x) дифференцируема в точке » и «функция f(x) имеет производную в точке »

Доказательство:
1) Если функция f(x) дифференцируема, то её приращение в точке представимо в виде

. Разделим последнее выражение на приращение аргумента и устремим его к нулю:
2) Пусть функция f(x) имеет производную в точке .
Это значит, что существует и конечен предел

Определение предела по Коши:

Перепишем последнее неравенство как

Теорема Ферма.

Пусть ф-ия F(x) определена и непрерывна на промежутке [a,b] и в некоторой внутренней т. этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Если в этой т. сущ-ет производная, то она равна нулю: F’( =0

Доказательство: Пусть в т. , F() – наиб. знач. a< <b

Пусть подходит к т. слева => x< ;

F(x)<F()=> F(x) – F()<0 и x< => x- <0

Пусть к т. подходит справа ()

F(x)<F()=> F(x)-F( <0, x> => x- >0

Геометрический смысл теоремы: в т. наибольшего или наименьшего значения ф-ии касат. к графику ф-ии паралл. оси Ox.

 

Теорема Ролля (о корнях производной)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b). Тогда на интервале (a;b) существует точка с, a < c < b, в которой производная функции f(x) равна нулю, т.е. f `(c)=0

Д-во:

По свойству неопределенных функций на отрезке функция f(х) принимает на отрезке [a;b] наибольшее и наименьшее значение, обозначим соответственно M,m.

M=m => f(x) = M = m - f(x) = c – const, f `(x) = c` = 0.

M≠m => f(a) = f(b).

Пусть M или m – достигается во внутренней точке. По теореме Ферма, f `(c) = 0.

 

Теорема Лагранжа

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на всем интервале (a;b). Тогда на (a;b) существует точка с, a < c < b, такая, что (f(b) – f(a))/ (b - a) = f `(c) или f(b) – f(a) = f `(c) (b-a).

Д-во:

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = [f(x) – f(a)] - (x-a).

Она

a)определена и непрерывна на [a;b], так как функция f(x) непрерывна на [a;b];

существует F`(x):

F`(x) = f `(x) – [ ].

F(a) = F(b) = 0.

Таким образом, для F(x) выполнены все условия теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Нетрудно проверить, подставляя x=a и x=b, что F(a) = 0 и F(b) = 0, т.е. F(a) = F(b). Поэтому и существует с принадлежащая [a;b] такая, что

F`(c) = f `(c) – [ ]=0.

Но когда в этой точке с

= f `(c),

что и дает формулу Лагранжа.

 

Теорема Коши

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и g(x) ≠ 0 на интервале (a;b). Тогда существует точка с, a< c < b, такая, что

Д-во:

g(a) ≠ g(b) (т.к. по теореме Ролля существует с | g `(c) =0).

Рассмотрим функцию F(x) = [f(x) – f(a)] – *[g(x)-g(a)]

1)Функция определена и непрерывна на [a;b];

2)Существует F `(x) = f `(x) – * g `(x);

3)F(a) = F(b) = 0

F(x) – удовлетворяет теореме Ролля

Существует c ϵ (a;b) | F `(c) = f `(c)- * g `(c) =>

g(x) = x

 

Доказательство.

Достаточность. Пусть х₂ > х₁. Тогда, по формуле Лагранжа

f(x₂)-f(x_]) = f '(c)(x₂-x_])>=0,

так как f '(с)>=0. Но тогда f(x₂)>=f(x_]). При этом если для всех х Э

(а,b) выполняется неравенство f ' (х) > 0 и, следовательно, в формуле Лагранжа f ' (с) > О, то f(x₂) > f(x_t) и функция f строго возрастает.

Аналогично доказывается если f(х) монотонно убывающая функция.

Доказательство.

Необходимость. Пусть y= kx + b наклонная осимптота при х→+∞. Тогда имеет место равенство f(x) = kx + b + α(x), α(x)→0 при x→+∞. Рассмотрим

Lim (x→+∞) = {f(x)/x = kx + b + α(x) / x = (k + b/x + α(x) / x)} = k

Рассмотрим

Lim(x→+∞) [ f(x) – kx ] = Lim(x→+∞) [ b + α(x) ] = b

Таким образом, если прямая y = kx + b наклонная асимптота, то пределы существуют.

Достаточность. Пусть существуют пределы

Lim (x→+∞) f(x) / x = k и Lim (x→+∞) [ f(x) – kx ] = b.

Тогда из второго равенства следует, что

F(x) – kx = b + α(x), где α(x)→0 при х→+∞, т.е. f(x) = kx + b + α(x) и y = kx +b наклонная осимптота.

Аналогично рассматривается случай x→-∞

 

14. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции двух переменных

Если функция z = f(x;y) дифференцируема в точке (x_o;y_o) и имеет в этой точке частные производные, тогда

dz = dx + dy

т.е. форма записи полного дифференциала функции z = f(x;y) двух (и более) переменных не зависит от того, является ли x и y независимыми переменными, или функциями других независимых переменных.

Д-во:

Пусть z = f(x(u;v);y(u;v)).

Найдем dz = du + dv = du + dv =

+ = dx + dy

Теорема о непрерывности и дифференцируемости функции одного аргумента в данной точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.