Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции

Если функция аргумента х задана параметрически:

α ≤ t ≤ β,

Где φ(t) и ψ(t) – дифференцируемые функции, причем φ`(t) ≠ 0, то производная этой функции по переменной х вычисляется по формуле

_.

Док-во:

Пусть и – дифференцируемы и ≠ 0. Кроме того, будем считать, что функция х = имеет обратную функцию t = φ ^-1(x), которая также дифференцируема. Тогда функцию, заданную параметрически, можно рассматривать как

y = ψ(t), t = φ ^-1(x),

считая t промежуточным аргументом.

Продифференцируем функцию y = ψ(t), t = φ ^-1(x) по правилу дифференцирования сложной функции, получим

y`(x) = ψ`(t)*t`(x).

Производную t`(x) найдем по правилу дифференцирования обратной функции:

t`(x) = .

Итак, окончательно имеем: если , то .

 

Аналитические признаки строгой монотонности.(достаточные условия)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке [a, b] существует f ' (х). Тогда, для того, чтобы f(x) была монотонно возрастающей (убывающей) функцией достаточно, чтобы

A x Э[a,b]f ' (x)>=0 (f '(x)<=0).

Доказательство.

Достаточность. Пусть х₂ > х₁. Тогда, по формуле Лагранжа

f(x₂)-f(x_]) = f '(c)(x₂-x_])>=0,

так как f '(с)>=0. Но тогда f(x₂)>=f(x_]). При этом если для всех х Э

(а,b) выполняется неравенство f ' (х) > 0 и, следовательно, в формуле Лагранжа f ' (с) > О, то f(x₂) > f(x_t) и функция f строго возрастает.

Аналогично доказывается если f(х) монотонно убывающая функция.

Первый достаточный признак экстремума

Пусть х ₀ - критическая точка непрерывной функции f(х). Если f' (х) при переходе через точку x₀меняет знак с «+» на «-», то x₀— точка локального максимума. Если f ' (х) при переходе через точку х₀ меняет знак с «-» на «+», то х₀- точка локального минимума. Если f ' (х) при переходе через точку x₀ не меняет знак, то х₀ не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть x₀ - точка возможного экстремума функции, причем

f '(x)>0 для x<х₀, A x Э U(x₀,Дельта);

f '(x)<0 для х>х₀, A x Э U(x₀,Дельта). Тогда

при f '(x)>0 для x<х₀, A x Э U(x₀,Дельта); => f(x₀)>f(x),

при f '(x)<0 для х>х₀, A x Э U(x₀,Дельта). => f(x₀)<f(x),

следовательно A x Э U(x₀,Дельта): f(x₀)>f(x), т. е. точка х₀ является точка локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума. Если f `(x) сохраняет знак в окрестности точки х₀, то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка х₀ не является точкой локального экстремума.

 

Достаточные условия выпуклости вогнутости

Если функция у = f (х) дважды дифференцируема на некотором промежутке (а, b ), причем f " (х) < 0) для любого х Э (а, b), то на этом промежутке график функции выпуклый, если f " (х) > 0, то график функции вогнутый на промежутке (а, b).

Доказательство. Возьмем произвольную точку х₀ Э (а,b) и проведем касательную в точке х₀.

Теорема будет доказана, если установим, что все точки графика функции f(x) лежат ниже (выше) касательной A x Э(a,b).

График функции f(x) по формуле Тейлора можно представить в виде: f(x) = f(x₀) + f '(x₀)(х -х₀)+(f "(x₀)(x -х₀)²)/2!, х<с<х₀.

Остаточный член записан в форме Лагранжа.

Уравнение касательной проведенной через точку х₀ запишем в виде:

y_кас = f(x₀) + f '(x₀)(x-x₀).

Рассмотрим разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х:

f(x)-y_{кас =} (f "(c)(x-x₀)²)/2!

Если f "(c) > 0, то f(x) - у_кас >= 0, следовательно, f(x) >= у_кас. Т. е. кривая f{x) выше касательной для любого х Э (а,b), вогнутая.

Если f "(c)<0, то f(x)-y_Kac<=0, следовательно, f(x)<=y_Kac. Т.е. кривая f(x) ниже касательной для любого х Э (а,b), выпуклая.

Критерий существования наклонной асимптоты

Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой не­обходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

lim f(x)/x = k, lim [f(x)-kx] = b.

х->± ∞ х->± ∞

Доказательство.

Необходимость. Пусть y= kx + b наклонная осимптота при х→+∞. Тогда имеет место равенство f(x) = kx + b + α(x), α(x)→0 при x→+∞. Рассмотрим

Lim (x→+∞) = {f(x)/x = kx + b + α(x) / x = (k + b/x + α(x) / x)} = k

Рассмотрим

Lim(x→+∞) [ f(x) – kx ] = Lim(x→+∞) [ b + α(x) ] = b

Таким образом, если прямая y = kx + b наклонная асимптота, то пределы существуют.

Достаточность. Пусть существуют пределы

Lim (x→+∞) f(x) / x = k и Lim (x→+∞) [ f(x) – kx ] = b.

Тогда из второго равенства следует, что

F(x) – kx = b + α(x), где α(x)→0 при х→+∞, т.е. f(x) = kx + b + α(x) и y = kx +b наклонная осимптота.

Аналогично рассматривается случай x→-∞

 

14. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции двух переменных

Если функция z = f(x;y) дифференцируема в точке (x_o;y_o) и имеет в этой точке частные производные, тогда

dz = dx + dy

т.е. форма записи полного дифференциала функции z = f(x;y) двух (и более) переменных не зависит от того, является ли x и y независимыми переменными, или функциями других независимых переменных.

Д-во:

Пусть z = f(x(u;v);y(u;v)).

Найдем dz = du + dv = du + dv =

+ = dx + dy