ТОП 10:

Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции



Если функция аргумента х задана параметрически:

α ≤ t ≤ β,

Где φ(t) и ψ(t) – дифференцируемые функции, причем φ`(t) ≠ 0, то производная этой функции по переменной х вычисляется по формуле

.

Док-во:

Пусть и – дифференцируемы и ≠ 0. Кроме того, будем считать, что функция х = имеет обратную функцию t = φ -1(x), которая также дифференцируема. Тогда функцию, заданную параметрически, можно рассматривать как

y = ψ(t), t = φ -1(x),

считая t промежуточным аргументом.

Продифференцируем функцию y = ψ(t), t = φ -1(x) по правилу дифференцирования сложной функции, получим

y`(x) = ψ`(t)*t`(x).

Производную t`(x) найдем по правилу дифференцирования обратной функции:

t`(x) = .

Итак, окончательно имеем: если , то .

 

Аналитические признаки строгой монотонности.(достаточные условия)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке [a, b] существует f '(х). Тогда, для того, чтобы f(x) была монотонно возрастающей (убывающей) функцией достаточно, чтобы

A x Э[a,b]f '(x)>=0 (f '(x)<=0).

Доказательство.

Достаточность. Пусть х2 > х1. Тогда, по формуле Лагранжа

f(x2)-f(x]) = f '(c)(x2-x])>=0,

так как f '(с)>=0. Но тогда f(x2)>=f(x]). При этом если для всех х Э

(а,b) выполняется неравенство f ' (х) > 0 и, следовательно, в формуле Лагранжа f '(с) > О, то f(x2) > f(xt) и функция f строго возрастает.

Аналогично доказывается если f(х) монотонно убывающая функция.

Первый достаточный признак экстремума

Пусть х0 - критическая точка непрерывной функции f(х). Если f' (х) при переходе через точку x0меняет знак с «+» на «-», то x0— точка локального максимума. Если f '(х) при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на «+», то х0- точка локального минимума. Если f '(х) при переходе через точку x0 не меняет знак, то х0 не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть x0 - точка возможного экстремума функции, причем

f '(x)>0 для x<х0, A x Э U(x0,Дельта);

f '(x)<0 для х>х0, A x Э U(x0 ,Дельта ). Тогда

при f '(x)>0 для x<х0, A x Э U(x0,Дельта); => f(x0)>f(x),

при f '(x)<0 для х>х0, A x Э U(x0 ,Дельта). => f(x0)<f(x),

следовательно A x Э U(x0,Дельта): f(x0)>f(x), т. е. точка х0 является точка локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума. Если f `(x) сохраняет знак в окрестности точки х0, то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка х0 не является точкой локального экстремума.

 

Достаточные условия выпуклости вогнутости

Если функция у = f(х) дважды дифференцируема на некотором промежутке (а, b), причем f "(х) < 0) для любого х Э (а, b), то на этом промежутке график функции выпуклый, если f "(х) > 0, то график функции вогнутый на промежутке (а, b).

Доказательство. Возьмем произвольную точку х0 Э (а,b) и проведем касательную в точке х0.

Теорема будет доказана, если установим, что все точки графика функции f(x) лежат ниже (выше) касательной A x Э(a,b).

График функции f(x) по формуле Тейлора можно представить в виде: f(x) = f(x0) + f '(x0)(х0)+( f "(x0)(x -х0)2)/2!, х<с<х0.

Остаточный член записан в форме Лагранжа.

Уравнение касательной проведенной через точку х0 запишем в виде:

yкас = f(x0) + f '(x0)(x-x0).

Рассмотрим разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х:

f(x)-yкас = (f "(c)(x-x0)2)/2!

Если f "(c) > 0, то f(x) - укас >= 0, следовательно, f(x) >= укас. Т. е. кривая f{x) выше касательной для любого х Э (а,b), вогнутая.

Если f "(c)<0, то f(x)-yKac<=0, следовательно, f(x)<=yKac. Т.е. кривая f(x) ниже касательной для любого х Э (а,b), выпуклая.

Критерий существования наклонной асимптоты

Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой не­обходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

lim f(x)/x = k, lim [f(x)-kx] = b.

х->± ∞ х->± ∞

Доказательство.

Необходимость. Пусть y= kx + b наклонная осимптота при х→+∞. Тогда имеет место равенство f(x) = kx + b + α(x), α(x)→0 при x→+∞. Рассмотрим

Lim (x→+∞) = {f(x)/x = kx + b + α(x) / x = ( k + b/x + α(x) / x )} = k

Рассмотрим

Lim(x→+∞) [ f(x) – kx ] = Lim(x→+∞) [ b + α(x) ] = b

Таким образом, если прямая y = kx + b наклонная асимптота, то пределы существуют.

Достаточность.Пусть существуют пределы

Lim (x→+∞) f(x) / x = k и Lim (x→+∞) [ f(x) – kx ] = b.

Тогда из второго равенства следует, что

F(x) – kx = b + α(x) , где α(x)→0 при х→+∞, т.е. f(x) = kx + b + α(x) и y = kx +b наклонная осимптота.

Аналогично рассматривается случай x→-∞

 

14. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции двух переменных

Если функция z = f(x;y) дифференцируема в точке (xo;yo) и имеет в этой точке частные производные, тогда

dz = dx + dy

т.е. форма записи полного дифференциала функции z = f(x;y) двух (и более) переменных не зависит от того, является ли x и y независимыми переменными , или функциями других независимых переменных.

Д-во:

Пусть z = f(x(u;v);y(u;v)) .

Найдем dz = du + dv = du + dv =

+ = dx + dy







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.95.131.208 (0.006 с.)