Производные: постоянной, суммы, произведения, частного

Теорема 2. Если y = c, где c = const, то y' = 0.

Доказательство

Функция y = c принимает значение, равное c для любого аргумента x. Таким образом, Δy = 0 при любом x. Следовательно,

Теорема доказана.

Теорема3. Пустьфункции u=u(x), v=v(x) дифференцируемы. Тогда

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функции u, v получат приращения

Пусть y=u+v, тогда

Воспользовавшись свойством предела суммы функции, получаем

Утверждение 1) теоремы доказано.

Если y = u v, то Прибавив и отняв в правой части этого равенства произведение , после перегруппировки слагаемых получим . Воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Утверждение 2) теоремы доказано.

Теперь, если

Прибавив и отняв в правой части этого равенства частное , после перегруппировки слагаемых получим

Далее аналогично доказываем утверждение 3). Теорема доказана.

Из теорем 2,3 следует, что постоянную можно выносить за знак производной, т.е. (cy)' = cy'

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Внимание:
Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций!

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

59) Теорема.О производной обратной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в т. х₀ и $ обратная к ней функция x=j(y), которая непрерывна в т. y₀=f(х₀), то обратная функция дифференцируема в т. y₀, причем

j'_y

Доказательство.

Очевидно, что Dj=Dх (обратная функция непрерывна).Значит

 

.

Если Dх®0, то Dy®0, а поэтому

, то есть j'_y, что и требовалось доказать.

Пример.

Пусть y= arcsin x, тогда x= sin y- обратная ê y= arcsin х. Так как

, а,

то для производной функции y= arcsin x имеем

, где учтено что при yÎ[-p/2,p/2], cos y³0.

Используя рассмотренные ранее теоремы для других обратных тригонометрических функций имеем:

arccos x =p/2- arcsin x и поэтому (arccos x)'=-,

y= arctg x, x= tg y, а значит

(arctg x)'=,

(arcctg x)'=-

 

60)

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - вточке u=g(x)!

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".